随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23)(242++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值=2121- 22222211221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+=ωωωωωS τττ---=e eR X 2121)(2)(t X 的均方值2121)0()(2-==ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ϖττcos 2)()(2a t X t X >=+<9．设马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32(0(=p ，则2X 的分布律为)300118,300182(2(=P ，0354.0)0,1,1(432====X X X P⎥⎦⎤⎢⎣⎡==82.018.018.082.0)2(2P P)300118,300182(82.018.018.082.0)31,32()2(0(2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==P p p 0354.01.09.0300118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1()0,1,1(34232324232432=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则nn nn D C 21131-==13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式____)|(|≥<-σμ3X P ；14．随机变量序列ΛΛn X X X ,,21独立同分布,且2σμ==)(,)(i i X D X E >0Λ2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞→x n n X P ni i n σμ1二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。

（1） 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？； 解：}1,0{=I，(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31312121)1(P(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1811187127125)2(P , 125)2()0|0(0013====p X X P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=648389648259432259432173)4(P , 432259)4()0|0(0115====p X X P 2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3/23/103/203/103/23/1P ，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。

解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==9/69/29/19/49/49/19/49/29/3)1()2(2P P由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

解方程组P ππ=和1=∑iπ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1323231323131321323312211ππππππππππππ 解得74,72,71321===πππ，故平稳分布为)74,72,71(=π。

3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({≥n n X 是一齐次马尔可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明}0),({≥n n X 是遍历链。

解：(1) }2,1,0{=I51)0(36340===C C X P ,53)1(3612240===C C C X P ,51)2(3622140===C C C X P , 故初始分布)51,53,51(0(=p 。

(2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3/13/209/29/59/203/23/1)1(P(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==27727162748116814981162742716277)1()2(2P P , 由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

4．设t B t A t X 00sin cos )(ω+ω=，0ω是常数，A 与B 为相互独立的随机变量，且)1,0(~N A ，)1,0(~N B（1）证明)(t X 是平稳过程； （2）证明)(t X 均值具有各态历经性； （3） 求)(t X 的平均功率。

解：(1) 10==DA EA 10==DB EB1)(1)(2222=+==+=EB DB EB EA DA EAA 与B 相互独立，0))(()(==EB EA AB E)(0sin cos )sin ()cos ()(0000常数=+=+=tEB tEA t B E t A E t EX ϖϖϖϖ有关）（只与ττϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖτϖϖϖτ00000200200000020020000000020020000cos )(sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )()](cos sin )(sin [cos )(sin sin )(cos cos )](cos sin [)](sin cos [)](sin sin [)](cos cos [)]}(sin )(cos ][sin cos {[)]()([=+++=+++=+++++++=+++++++=++++=+t t t t EB t t EA t t AB E t t t t EB t t EA t t t t AB E t t AB E t t B E t t A E t B t A t B t A E t X t X E故)(t X 是平稳过程(2))(0sin cos 21lim )(00t EX tdt B t A Tt X TTT ==+>=<⎰-+∞→ϖϖ故)(t X 均值具有各态历经性(3)1)0(2==ψX X R5.随机过程t Y t X t Z cos sin )(+=，其中Y X ,为独立同分布的随机变量，它们的分布律为：（1） 证明)(t Z 为平稳过程；（2）证明)(t Z 的均值具有各态历经性.解：(1) 20==DX EX20==DY EYX 与Y 相互独立，0))(()(==EY EX XY E)(0cos sin )cos ()sin ()(常数=+=+=tEY tEX t Y E t X E t EZ有关）（只与τττττcos 2)]}cos()sin(][cos sin {[)]()([=++++=+t Y t X t Y t X E t Z t Z E 故)(t Z 是平稳过程(2) )(02sin 2lim cos sin 21lim )(t EZ TTY tdt Y t X T t Z T TT T ===+>=<+∞→-+∞→⎰ 故)(t Z 均值具有各态历经性6．设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 独立且都是均值为零，方差为2σ的正态随机变量，求（1）)1(X 和)41(X 的概率密度；（2）问)(t X 是否是平稳过程？解：(1) ),0(~cos )1(2σπN A A X -== 22221)(σσπx e x f -=),0(~2)(4sin 4cos )41(2σππN B A B A X +=+=22221)(σσπx ex f -=(2))(0)(常数=t EX)(cos )()(2有关只与τπτστ=+t X t EX故)(t X 是平稳过程7．设)cos()(Θπ+=t A t X ，A 为随机变量，具有瑞利分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000482x x e x x f x )(，Θ是),(π20上服从均匀分布与A 相互独立的随机变量，问)(t X 是否是平稳过程？ 解： )2,0(~πU Θ其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它)2,0(21)(ππx x f)(021)cos()cos()(20常数=+⋅=Θ+⋅=⎰θπθπππd t EA t E EA t EX有关）（只与τπτπτπππτππτcos 4))cos(()cos()])cos(()cos([)]()([2=Θ++Θ+⋅=Θ++⋅Θ+=+t t E EA t A t A E t X t X E808)8(804828828282222222=∞+-=--∞+-=-==--∞+--∞+-∞+⎰⎰⎰x x x x x ex d ee x dex dx e x x EA 其中πτππτπθπτθπτππθπθπτπθππτππππcos 212cos 41)]cos()22[cos(212121)cos()cos())cos(()cos(2020=⋅=-+++=⋅+++=Θ++Θ+⎰⎰d t d t t t t E8．设)(t X 是平稳过程，令)()()(a t X a t X t Y --+=，a 为常数，试证：（1）)()()()(a R a R R R X X X Y 222--+-=ττττ； （2）)(sin )()(ωωωa S S X Y 24=。