一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为
itb
ita
e
e
i(b-a)t
-。
2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:
则X (t)的数学期望为2sint 。
3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥
是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，
则n W 服从参数为n 与λ的
___Γ___分布。
5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且
12P ()=
3
ω，21P ()=
3
ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，则j p (n )=
(n)i
ij
i I
p p
∈∑
7．设{}
n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)
ij ij
n=1
f f
∞
=
∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。
9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。
10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)
ij n lim p →∞
=__0_____，i I ∀∈。
二．证明题（每题6分，共24分）
1.概率空间(,,P)ΩF ，事件序列{}n E ,n 1≥单调，证明：n n n n lim P(E )=P(lim E )→∞
→∞。
证明：不妨设{}n E ,n 1≥单调增加，则n n n n=1
lim E E ∞
→∞
=⋃，令11F =E ，n n n-1F =E E -（n 2≥）,
有
n n
n=1
n=1F E ∞∞
⋃=⋃，
且
n
F 互不相
容，
则
n
n P
(
l i
m E )=
→∞
n n n=1
n=1
P{E }P{F }∞
∞
⋃=⋃=
n
n
k
n n=1
k=1
P(F
)=lim
P(F
)
∞
→∞
∑∑n
n
k k n n n n k=1
k=1
lim P(F )=lim P(E )lim P(E )→∞
→∞
→∞
==
2.设A,B,C 为三个随机事件，证明：P(AC B )=P(A B )P(C AB )。
证明：左边=
P(A BC)P(A BC)P(A B)P(A B )P(C A B )P(B)
P(A B)
P(B)
=
==右边
3.设{}X (t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，对任意的[)t,s 0,,∈∞且s<t,证明：X R (s,t)s(t+1)λλ=。
证明：[][]X R (s,t)E X (s)X (t)E X (s)[X (t)-X (s)+X (s)]s(t+1)λλ===
4.设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，证明：(n)
()
(n-)
ij ik
kj
k I
p p
p l l ∈=
∑。
证明：{}(n)
ij k I
P P X (n)=j X (0)=i P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩
⎭
={}k I
P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈∑
={}{}k I
P X (l)=k X (0)=i P X (n)=j X (l)=k,X (0)=i ∈∑ =(l)(n-l)
ik kj P P ∑
三．计算题（每题10分，共50分）
1.设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数。
（1）画出其中二条样本函数的图形；（2）求当t=
4π
α
时，X(t)的概率密度函数。
解：（1）取V=11,23
；（2
）X ()=V 4π
α4X ()p 0 πα∴=⎪⎩
其它
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求：（1）在5分钟内顾客数的平均数；（2）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率。
解：设N (t)表示[)0,t 内顾客到达的数目，{}k
-10
(25)P N (5)=k e
k!
⨯=
，k=0,1,2,
故知（1）{}E N(5)10;=（2）{}{}-10
P N(5)1P N(5)=01e
≥==-
3.设质点只能停留在1、2、3、4个点上作随机游动。
移动的规则是：移动前若在2或3上，则均以
13
的概率向右或向左移动一个单位，或者停留原处；移动前若在1点上，则以概率1移到2点；
移动前若在4点上则以概率1移到3点上。
设n X 表示时刻n 质点所处的位置。
（1）写出其状态空间，说明此系统是一齐次马氏链；（2）求出一步转移概率矩阵；（3）求出二步转移概率矩阵。
解：（1）{}I=1,2,3,4；
（2）1113
33111
3
3
3
1
00
P=00
01
0⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ （3）1
1
13
3351219999
(2)2512199991113
330P P 0
⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4.设有状态空间{}I=0,1,2的马氏链，一步转移概率矩阵0.50.40.1P=0.3
0.40.30.2
0.3
0.5⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试求它的极限分布。
解：由一步转移概率矩阵知，此马氏链是不可约的遍历链，它的平稳分布就是极限分布，设极限分布为012X =(x ,x ,x )，由X=XP ，得
00121
012201201
2x =0.5x +0.3x +0.2x x =0.4x +0.4x +0.3x
x =0.1x +0.3x +0.5x x +x + x 1
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪=⎩
解上述线性方程组，得012212318x =
,x =
,x 62
6262
=
5.设有状态空间{}I=0123,4,5,6，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1
1
22112
21122
1122112
2
11111117
7
7
7
7
7
70
00000000000
0000000P=0000000
1
0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。
解：（1）（图略）；
（2）123I=D C C C ，其中D={6}为非常返状态集，{}{}{}123C =0,1,2,C =3,4,C 5=均为正常返闭集。
四.简答题（6分）随机过程与函数、随机变量有何不同？ 答：（略）。