第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。

例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。

乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。

定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ℑΩ上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。

E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。

例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为),0[∞+注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。

（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。

（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。

二、有限维分布与Kolmogorov 定理随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随机过程的二维分布：Tt t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21M随机过程的n 维分布：T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤=ΛΛΛΛ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,211、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。

2、有限维分布族的性质：（1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j Λ，有),,(),,(21,,,,212121n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n nj j jΛΛΛΛ=（2）相容性：对于m<n ，有),(),,(1,1,,111m t t m t t t t x x F x x F m n m m ΛΛΛΛΛΛ=∞∞+3、Kolmogorov 定理定理：设分布函数族}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t ∈T}，使}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n ΛΛΛ恰好是{X(t), t ∈T}的有限维分布族。

定义：设{X(t), t ∈T}是一随机过程：（1） 称X(t)的期望)]([)(t X E t X =μ（如果存在）为过程的均值函数。

（2） 如果T t ∈∀，)]([2t X E 存在，则称随机过程{X(t), t ∈T}为二阶矩过程。

此时，称函数))]()())(()([(),(221121t t X t t X E t t X X μμγ--=，T t t ∈21,为过程的协方差函数；称),()]([t t t X Var γ=为过程的方差函数；称T t s t X s X E t s R X ∈=,)],()([),(为自相关函数。

例：)()(0b t a tV X t X ≤≤+=，其中0X 和V 是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求)(t X μ和),(21t t γ。

三、随机过程的基本类型独立增量过程：如果对任意,,,,21T t t t n ∈⋅⋅⋅,21n t t t <⋅⋅⋅<<随机变量,)()(12⋅⋅⋅-t X t X)()(1--n n t X t X 是相互独立的，则称{X(t), t ∈T}是独立增量过程。

平稳增量过程：如果对任意21,t t ，有X(t 1+h)-X(t 1)d X(t 2+h)-X(t 2)，则称{X(t), t ∈T}是平稳增量过程。

平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson 过程和Brownian motionPoisson 过程 2.1 Poisson 过程1. 计数过程定义：随机过程}0),({≥t t N 称为计数过程，如果)(t N 表示从0到t 时刻某一特定事件A 发生的次数，它具备以下两个特点： （1）0)(≥t N 且取值为整数；（2）t s <时，)()(t N s N ≤且)()(s N t N -表示],(t s 时间内事件A 发生的次数。

2. Poisson 过程定义2.1.1：计数过程}0),({≥t t N 称为参数为λ（0>λ）的Poisson 过程，如果 （1）;0)0(=N（2）过程具有独立增量性；（3）在任一长度为t 的时间区间中事件发生的次数服从均值为t λ的Poisson 分布，即对一切0,0>≥t s ，有()Λ,1,0,!))()((===-+-n n te n s N s t N P n t λλ注：Poisson 过程具有平稳增量性因为)()(s N s t N -+的分布只依赖于t, 与区间起点s 无关，,0=s 令()Λ,1,0,!)n )((===-n n t et N P n tλλt t EN t m λ==∴)()(于是可认为λ是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称λ是Poisson 过程的强度。

例2.1.1：（Poisson 过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson 过程模型。

例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson 过程来描述。

以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？10:00-11:00没有人来买票的概率是多少？解：我们用一个Poisson 过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数10=λ，于是!10}5)1()2({510n eN N P n n ∑=-=≤-, 10010!010}0)2()3({--===-e e N N P 例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以)(t N 表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在],0(t 时间内发生不幸事故的数目，则Poisson 过程就是}0),({≥t t N 的一种很好近似。

例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson 过程的模型。

我们考虑一种最简单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？解：设一年开始时刻为0，1月末为时刻1，…年末为时刻12，则有124!)124(})0()12({⨯-⨯==-e n n N N P n∑∞=⨯-⨯⋅=-0124!)124()]0()12([n n e n n N N E =48问题：为什么实际中有这么多现象可以用Poisson 过程来反映呢？{}{}{}).(2)(0h )iv ( );(1)(0h ,0)iii ( )ii ( ;0)()i ( 0),(2.1.2h o h N P h o h h N P t N Poisson t t N =≥↓+==↓>=≥时，当时，当存在过程有平稳独立增量过程，如果满足：称为：计数过程定义λλ 定理2.1.1：定义1和定义2是等价的。

例2.1.3：事件A 的发生形成强度为λ的Poisson 过程}0),({≥t t N ，如果每次事件发生时以概率p 能够被记录下来，并以M(t)表示到时刻t 被记录下来的事件总数，则}0),(M {≥t t 是一个强度为p λ的Poisson 过程。

例2.1.4：若每条蚕的产卵数服从Poisson 分布，强度为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间[0, t]内每条蚕养活k 只小蚕的概率。

2.2 与Poisson 过程相联系的若干分布设n T 表示第n 次事件发生的时刻，n=1,2，…，规定00=T 。

n X 表示第n 次与第n-1次事件发生的间隔时间，n=1,2，…。

1. 关于n X 和n T 的分布定理2.2.1：n X （n=1,2,…）服从参数为λ的指数分布，且相互独立。

定理2.2.2：n T （n=1,2,…）服从参数为n 和λ的Γ分布。

注：如果每次事件发生的时间间隔,....,21X X 相互独立，且服从同一参数为λ的指数分布，则计数过程}0),({≥t t N 是参数为λ的Poisson 过程。

例2.2.1：设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min 的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？例2.2.2：假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson 过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。

试求：上午8:00-12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率。