p12
p12 p22
2 1
2
1
2
p11
3 2
0
3
p11 p12
p12 p22
2 1
2
1 2 0 1
P正定
V xT
Px
xe是12 大(3x范12 围 2一x1致x2渐进2x稳22 )定
0
.
V (x12 x22 )
2. 线性定常离散系统渐进稳定性判别
设系统状态方程：x(k 1) x(k)
第4章
李雅普诺夫稳定性理论
4.1 稳定性基本概念
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
则称xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导
数，于是：
❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
❖ 当 与t0 无关 大范围一致渐进稳定。
❖ 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，线 性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
一致渐进稳定。 定理2
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
x. 1 kx2 (k 0)
x2
.
.
x1
解：由于 x1 x2 0
x1 x2 0
则原点是平衡状态
设 V (x) x12 kx22
V&(x) 正（负）半定
则
.
V (x) 2kx1x2 2kx1x2
0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。
解：
.
令
x1 0
.
x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
则设VV. ((xx))2xx121
.
x22
x1 2x2
.
x2
.
V (x) 2(.x12 x22 )2
定理1
x0
V .
(
x)
0
.
V
(
x)
负定
x 0 V (x) 0
1)原点是渐进稳定的；
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定；
g(x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
❖ 稳定性定理：
设系统状态方程：x f (x,t)
其平衡状态满足 f (0,t) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在V (x,t)对 x 的连续的一阶
偏导数。
定理1：若(1) V (x,t) 正定；
.
故 V. (x) 正半定。 令 V (x) 0 .x2 0, x1 0 即非零状态时，V (x)不恒为零，则原点不稳
定即系统不稳定。
推论1
4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为：
.
x Ax
A--非奇异矩阵
xe 0为唯一平衡状态。
设选取如下的正定二次型. 函数V (x)为李氏函数
定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
令 x1 0 x2 0
0
x e1 0
0 xe3 1
0 xe2 1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( ,t0 ) 0 满足
.
4) 判断非零情况下，V[x(t; x0,t),t] 是否为零。
渐进稳定 李氏稳定 不稳定
.
令 V (x,t). 0 若x 0, V (x,t) 0 成立 李氏意义 下稳定
.
若仅x 0, V (x,t) 0 成立 渐进稳定
例1：已知非线性系统的状态方程为：
.
x. 1 x2 x1(x12 x22 ) x2 x1 x2 (x12 x22 )
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
几何意义：
c1
V (x) x12 x22
c12 (c22 )
等能量轨迹(整个平面)
x2
c(2x10, x20)
x1
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
.x1 x2
x2 x1 x2
解：1) 令
.
x. 1 0
x1 0
x2 0
➢ 原点不稳定 线性系统不稳定 非线性系统不一定
.
❖推论. 1：当 V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定， 且 原点V [不x(稳t;定x0。, t), t] 在非零状态不恒为零时,则
.
❖推论2：V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定，若 . x 0 ，V (x,t) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局部发散的轨迹。
若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2, n
几点说明：
1) V (x,t)选取不唯一，. 但没有通用办法，V (x,t) 选取不当，会导致 V (x,t) 不定的结果。
2)
这仅仅是充分条件。
.
V (x,t)--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤：
1) 构造一个 V (x,t) 二次型； .
2) 求 V (.x,t) ，并代入状态方程； 3) 判断V (x,t) 的定号性；
件为:
给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一 的正定实对称矩阵P使 AT P PA Q 成立，
则xT Px V (x)为系统的一个李氏函数。
方法1：给定P Q V(x)选取不定 Q不定。
给定正定Q P xT Px V (x)
Q单位阵 p的定号性
方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对
.
角线上部分元素为零 V (x)负半定。
.
(2) V (x,t)
负定；
则原点是渐进稳定的。
.
说明：V (x,t) 负定 能量随时间连续单调
衰减。
▪ 定理2：若(1) V. (x,t) 正定；
(2) V. (x,t) 负半定；
(3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态不
恒为零，则原点是渐进稳定的。
❖ 定理3：若(1) V (x,t)正定； . (2)V. (x,t) 负半定； (3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态存
.
例1：x
0 1
1 1 x
xe 0
解：选取 V (x) xT Px AT P PA Q
0 1
1 0
1 p11