常微分大作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪一洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。
一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。
另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下),(t x f x= （1） 式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定方程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态 如果对于所有t ，满足0),(==t x f xe e （2） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态方程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。
控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。
鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。
对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。
（a ）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b ）渐近稳定性 （c ） 不稳定性图1 稳定性的平面几何表示 2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0),(0>t εδ，当初始状态满足δ≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim t →∞ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态x e 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。
该定义的平面几何表示见图8-18（a ），e x x -0表示状态空间中x 0点至x e 点之间的距离，其数学表达式为2021100)()(ne n e e x x x x x x -++-=- （3）设系统初始状态x 0位于平衡状态x e 为球心、半径为δ的闭球域()S δ内，如果系统稳定，则状态方程的解),;(00t x t x 在∞→t 的过程中，都位于以x e 为球心，半径为ε的闭球域()S ε内。
（2）一致稳定性： 通常δ与ε、t 0 都有关。
如果δ与t 0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
定常系统的δ与t 0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
（3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 00lim (;,)0e t x t x t x →∞-→ （4） 称此平衡状态是渐近稳定的。
这时，从()S δ 出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当∞→t 时收敛于x e 或其附近，其平面几何表示见图8-18（b ）。
（4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。
此时，∞→δ，∞→δ)(S ，∞→x 。
对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。
非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
（5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在()S δ内有一条从x 0 出发的轨迹跨出()S ε，则称此平衡状态是不稳定的。
其平面几何表示见图8-18（c ）。
注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过()S ε ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。
经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。
3.李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。
根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。
实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。
它与n x x ,,1 及t 有关，是一个标量函数，记以(,)V x t ；若不显含t ，则记以()V x 。
考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用(,)V x t 表示。
遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。
实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数Px x T 作为李雅普诺夫函数。
1.标量函数定号性（1）正定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零状态)0(≠x 有0)(>x V 且0)0(=V ，称()V x 在域S 内正定。
如2221)(x x x V +=是正定的。
（2）负定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零x 有0)(<x V 且0)0(=V ，称()V x 在域S 内负定。
如)()(2221x x x V +-=是负定的。
如果()V x 是负定的，-()V x 则一定是正定的。
（3）负（正）半定性 0)0(=V ，且()V x 在域S 内某些状态处有0)(=x V ，而其它状态处均有0)(<x V （0)(>x V ），则称()V x 在域S 内负（正）半定。
设()V x 为负半定，则()V x -为正半定。
如221)2()(x x x V +-=为正半定。
（4）不定性 ()V x 在域S 内可正可负，则称()V x 不定。
如21)(x x x V =是不定的。
关于(,)V x t 正定性的提法是：标量函数(,)V x t 在域S 中，对于0t t >及所有非零状态有0),(>t x V ,且0),0(=t V ，则称),(t x V 在域S 内正定。
),(t x V 的其它定号性提法类同。
二次型函数是一类重要的标量函数，记[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n nn n n n T x x p p p p x x Px x x V111111)( （6） 其中，P 为对称矩阵，有ji ij p p =。
显然满足0)(=x V ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。
当P 的各顺序主子行列式均大于零时，即111111*********,0,,0n n nn p p p p p p p p p >>> （7） P 为正定矩阵，则()V x 正定。
当P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即111111*********,0,,(1)0n n n nnp p p p p p p p p <>-> （8） P 为负定矩阵，则()V x 负定。
若主子行列式含有等于零的情况，则()V x 为正半定或负半定。
不属以上所有情况的()V x 不定。
下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。
2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理设系统状态方程为),(t x f x= ，其平衡状态满足0),0(=t f ,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在(,)V x t 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1 若①(,)V x t 正定，②(,)V x t 负定；则原点是渐近稳定的。
(,)V x t 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。
定理 2 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。
(,)V x t 负半定表示在非零状态存在(,)0V x t ≡，但在从初态出发的轨迹),;(00t x t x 上，不存在0),(≡t x V 的情况，于是系统将继续运行至原点。
状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。
定理3 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
沿状态轨迹能维持0),(≡t x V ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。
定理4 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 正定；则原点是不稳定的。
(,)V x t 正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。
参考定理2可推论：(,)V x t 正定，当(,)V x t 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。
应注意到，李雅普诺夫函数[正定的(,)V x t ]的选取是不惟一的，但只要找到一个(,)V x t 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的(,)V x t 不同而有所影响。
不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。
如果(,)V x t 选取不当，会导致(,)V x t 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重新选取(,)V x t 。
以上定理按照(,)V x t 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。
具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数(,)V x t ，通常选二次型函数，求其导数(,)V x t ，再将状态方程代入，最后根据(,)V x t 的定号性判别稳定性。
至于如何判断在非零状态下]),,;([00t t x t x V 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：令0),(≡t x V，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对0≠x ，0),(≡t x V 的条件是成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足0),(≡t x V的条件。