x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
x0
x
f h.o.t. (x)
用 A 表示在 x 0 处 f 关于x 的雅可比矩阵：
A f x x0
原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：
x Ax
李雅普诺夫理论基础
对于一个具有控制输入 u 的自治非线性系统：
x f (x,u)
x
f x
(x0,u0)
x
f u
(x0,u0)
它的时间导数
V
sin
2
2
0
可以得出原点是稳定的平衡点的结论。
不能得到关于系统渐近稳定性的结论，因为 V(x) 仅仅半负定。
李雅普诺夫理论基础
例：研究非线性系统 x1 x1 (x12 x22 2) 4x1x22 x2 4x12 x2 x2 (x12 x22 2)
在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数 V (x1, x2 ) x12 x22
V 2xx 2xc(x)
x 0 是一个全局渐近稳定的平衡点。
李雅普诺夫理论基础
例： 考虑系统 x1 x2 x1(x12 x22 ) x2 x1 x2 (x12 x22 )
状态空间的原点是这个系统的平衡点，设 V 是正定函数
V (x) x12 x22
V 沿任何系统轨迹的导数是
V (x) 2x1x1 2x2 x2 2(x12 x22 )2
u
fh.o.t.
(x,
u)
有：
x Ax Bu
对于闭环系统，同样可以得出上述结论。
例2.2 考虑系统
x1 x22 x1 cos x2 x2 x2 (x1 1)x1 x1 sin x2
在 x 0 处线性化。
线性化结果：
x
1 1
0 1x
李雅普诺夫理论基础
定理：（李雅普诺夫线性化方法）
1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果 A的所有特
x2
V1 V2 V3
x1
V (x) V1
V V3 V V2
李雅普诺夫理论基础
例：一阶非线性系统
x c(x) 0
式中，c 是任何一个与它的标量自变量 x 有相同符号
的连续函数，即
xc(x) 0 对于 x 0
c(x)
选李雅普诺夫函数为
V x2
x
当 x 时 ， V 趋向于无穷，
0
它函数是径向无界。它的导数是
§2.3 李雅普诺夫直接法
李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的
数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量
是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，
最终必定稳定至某个平衡点。
非线性质量—阻尼器—弹簧系统，
非线性弹簧 与阻尼器
m
动态方程是
mx bx x k0x k1x3 0
~
b MR2
~
g R
~
0
因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点 也是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
李雅普诺夫线性化定理说明 线性控制设计存在一致性问题，人们必须设计 控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也 说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有 多大？稳定范围是什么？
李雅普诺夫理论基础
征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的 （对实际的非线性系统）；
2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征
值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳 定的（对实际的非线性系统）；
3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那 么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性 系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫理论基础
几何解释：表示 V(x) 值的点总是指向杯底，或指向越来 越小的V (x)值等高线。
二、平衡点定理
李雅普诺夫直接法的几个定理建立起李雅普诺夫函数与系 统稳定性之间的精确关系。
1、局部稳定性的李雅普诺夫定理
定理（ 函数 V
局(x)部，稳它定具性有）连：续如的果一在阶球偏域导数B R，0内使，得存：在一个
不等于发散。
李雅普诺夫理论基础
例2.1 范德堡振荡器的不稳定性 3
对于范德堡方程
1
2
x (x2 1)x x 0
转换成状态方程描述
0
x(0) S(r)
x1 x2 x2 x1 (1 x12 )x2
S(R) 图2-1 稳定性概念
很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。 并且是不稳 定的。
x2
x2
C R 1
x1
李雅普诺夫理论础
定义：如果存在两个严格正数 和 ，使得围绕原点的某
个球内
B
，
r
t, x(t) x(0) et
那么称平衡点0是指数稳定的。
也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函
数的速度收敛于原点，通常称正数 为指数收敛速度。
指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。
它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。
李雅普诺夫理论基础
3、注释 对于同一个系统可以存在许多李雅普诺夫函数。例如， 如果 V (x) 是一个李雅普诺夫函数，那么下面的 V1 (x)也是 李雅普诺夫函数：
V1 (x) V (x)
把正常数 写成后 e0 ，不难看到，经过时间 0 (1/ ) 后，状态向量的幅值减小到原值的 35%( e1)，与线性 系统中的时间常数相似。
李雅普诺夫理论基础
例1：系统
x (1 sin 2 x)x
它的解是：x(t)
x(0)
t
exp{0 [1
sin 2
( x(
))]d }
x(t) x(0) et
1、稳定性和不稳定性 定义：如果对于任何 R 0 ，存在 r 0 ，使得对于所有的 t 0 ，如果 x(0) r ，就有 x(t) R ，则称平衡点x 0 是
稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。
R 0,r 0, x(0) r t 0, x(t) R
或者：R 0, r 0, x(0) Br t 0, x(t) BR 对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定
x
的正定函数
2
V
(x)
，在三维空间中画出V
(x)
，它典型地对
应于一只看起来象向上的杯子的曲面，杯子的最低点位于
原点。 V
V V3 V V2 V V1
0
x2
V3 V2 V1 x1
V V3 V V2 V V1
x2 V1 V2 V3
0
x1
同样可以定义：负定、半正定、半负定等一些概念。
李雅普诺夫理论基础
标量
（1）V (x) 为正定（局部地）； （2）V(x) 为半负定（局部地）。
那么平衡点0是稳定的。如果实际上导数 V(x)在 B R0 域内 局部负定，那么稳定性是渐近的。
李雅普诺夫理论基础
例：局部稳定性
具有粘滞阻尼的单摆由下列方程描述
sin 0
判断系统在原点的局部稳定性。
考察下列标量函数：V (x) (1 cos ) 2 0
为了断定一个系统的全局渐近稳定性，必须将 B R0 扩展为
整个状态空间；还有V (x) 必须是径向无界的，即 x （换句话说，当从任何方向趋向无穷远时），V (x) 。
定理（全局稳定性）：假设存在状态 x 的某个具有连续一
阶导数的标量函数V (x) ，使得： （1）V (x) 是正定的， （2）V(x) 为负定的， （3）当 x 时，V (x) 。 那么平衡点0是全局渐近稳定的。
李雅普诺夫理论基础
径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的 等值曲面）V (x) Va 对应于封闭曲线。如果该曲线不是封 闭的，即使状态保持穿过对应于越来越小的 Va 的等值曲 线（面），状态轨线仍可能从平衡点漂移。 例如，对于正定函数