《图形中的规律》教学案例
1、学生经历自主探究图形规律的过程，并能尝试用字母总结概括。
2、在探究总结图形规律的过程中，发展学生的交流，表达和抽象概括能力。
3、体会数学的规律性和简洁美，增强数学意识。
教学准备：多媒体课件、统计表格（每人2张）
教学过程：
一、引入新课（从生活中的图形图案中发现有规律存在，产生研究图形规律的内动力）
师：学习之前老师这里准备了一组图片，你们想看吗？（多媒体播放图片）
师：图片看完了，刚刚老师发现同学们看得都非常认真，谁能说一说你有什么感受？
可能出现的情况：这些图形都很漂亮。
这些图形的排列都按一定的规律。
我感觉有规律排列的图形在我们的周围很多，用途很广泛。
师：看来，生活中这些有规律的图案能给我们带来美的享受，数学中的图形也能展示出很多有趣的规律，你们相信吗？这节课就让我们共同来研究图形中的规律。
（板书课题“图形中的规律”）
设计意图：《数学课程标准》中指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测……新课开始，学生通过欣赏来自于生活周围的一些有规律排列的图形，即体验到了数学知识的实用性，又增加了数学学习的趣味性，为新知的有效探究奠定了良好的心理基础。
二、引导探究
（一）三角形排列中的规律。
1、单个摆三角形：
师：有一种图形，具有稳定性，还记得是什么图形么？（三角形）用小棒摆这么一个三角形，需要几根？（课件依次显示3、5、30、100、n）
学生很快答出小棒根数依次是9、15、90、300、3n
师：300 ？快就知道了，谁来说说你是怎么得到的？
生：我是用3*100=300得到的（让学生解释其中的倍数关系，也是让不清楚的同学明白方法）
师：看来你们发现这里的规律了，现在呢？（屏幕显示三角形个数为n）
学生思考片刻后回答3n，老师追问：你能解释一下3n什么意思么？
结合学生口述，教师板书：n代表（图形）个数，3n表示(小棒)根数
2、复合三角形：
看来你们都已经发现了图形个数与小棒根数之间的规律。
三角形是不是不管怎么摆都是这样的规律呢？
生：对（没有充分考虑）
请看屏幕，如果三角形像这样摆成一排……需要多少根小棒，（教鞭指着数1、2、3、4、5、6、7）是不是三七21
学生先是发出疑惑声音，之后都认为不是，很多学生开始数小棒个数为15根。
师：有人已经数出来了，一共是15根。
如果照这样摆30个三角形又需要多少根小棒呢？
学生遇到问题，引起争论。
有的说450根、60根（教师把学生的猜测记在黑板上）
师：想不想知道这里面到底有什么样的规律？那我们就来一起研究它的排列规律。
安排小组活动：
1）出示活动要求：
（a、从一个三角形开始，边画边记录；
b、完成表格后要认真观察，思考三角形个数与所需的小棒根数之间有什么规律；
c
2）学生活动。
中途把图形画得好的同学的表格展示出来，给其他同学一个范例。
等到大多数人找到规律后，可以让组内的同学小声交流。
可能出现的情况1：我发现小棒根数都是奇数。
可能出现的情况2：我发现，除第一个三角形用三根小棒之外，以后每多摆一个三角形，只要在增添两根小棒就够了，就是依次多两根小棒。
3+2+2+2+…个数×3-公共边条数公共边条数=个数-1
可能出现的情况3：第一个三角形用3根小棒，其实也可以认为是在一根小棒的基础上增加2根小棒这样，摆一个增加一个2根，摆两个增加两个2根，摆三个增加3个两根……
1+2+2+2+…
3）汇报。
（给学生展示思维的空间，也是给学生以思维的启发）
生1：每多摆1个三角形，小棒根数就增加2。
生2：根数3、5、7、9、11、13每次都是+2。
师：好！你们发现了么？（对全班提问，引起学生的注意）
生3：根数是个数乘2再加1。
生4：每个三角形都共用前一个三角形的一条边。
师：噢！你提到共用一条公共边，非常好！（进一步感受小棒根数的增加过程）
4）刚刚你们都发现了规律，能不能通过你们发现的规律，根据三角形的个数计算出小棒的根数？
学生说能，并进行尝试。
生1：我根据胡远泽发现的规律，想到用2n+1。
师：你们同意么。
……
师生共同完善板书。
（三角形个数：n 小棒根数：、3＋2（n－1））
课件展示动态的形成过程，学生根据课件演示，进行解释。
4）验证
你们通过自己的研究，发现了其中的规律，回到刚才的问题，这样摆30个三角形，需要多少根小棒？把你的计算过程写在纸上。
学生在纸的背面计算，拿着算式到台前展示。
生：30*2+1=61（根）
师：你们都是这么算的么？还有没有其它算法？（学生很安静，都采用1＋2n的方法）从你们的选择我看出来，虽然这几种方法都表示了个数和根数的规律，但是1＋2n的方法计算起来更……
生：简单！
（二）单排正方形排列中的规律。
师：刚刚你们通过仔细的观察和认真的思考，研究出了三角形排列中的规律，老师真佩服你们。
换一种图形，你们还能找出规律么？（学生都情绪高涨，说能）如果按照这样的摆法摆很多正方形，正方形的个数与所需要的小棒根数之间又有着什么规律呢？（课件显示成果图）
个别学生跃跃欲试，已经发现了规律。
师：想好的同学，快点把你的想法写在纸上。
如果你还没有想好，可以借助手中另一张表格来继续研究。
1、学生独立思考后，组内交流。
教师巡视，注意辅导学生从图形的组成进行归纳来发现规律。
可能出现的情况1：我们发现，在这些正方形中，除了第一个用4根小棒以外，以后每次只加3根就可以组成一个正方形了，可以用4＋（n－1）×3表示。
可能出现的情况2：这和摆三角形有些相似，所以我们用3n＋1来表示个数和根数之间的关系。
生：4根小棒可以摆一个正方形，再加上3根小棒，借助了第一个正方形的1根小棒就可以再加一个正方形。
小棒的根数每次都+3，所以是 3n+1（教师协助板书）
2、展示成果，总结公式 1＋3n
照这样，摆30个正方形需要多少根小棒？
3、学生计算、验证1＋3n，口述完成，需要91根。
设计意图：在探究三角形规律的基础上再探究正方形排列的规律，进一步验证，获得基本的解决问题的策略。
三、思维拓展
1、拓展“相同摆法下的更多边形的规律”
三角形，正方形我们都亲自研究过了，你们通过认真观察和仔细思考都发现了规律。
如果边数继续增加，五边形象这样摆下去，你们还能说出这里的规律么？六边形呢？（结合课件，指名找学生回答）
1+4n 1+5n
这几种图形都有着类似的规律，看到这些你还能想到什么？
生：七边形是6n+1
生：我还知道八边形是7n+1
……很多学生举手想说
师：继续说下去，我们说的完么？100边形这样摆，规律是什么？
生： 99n+1。
真是了不起！刚刚你们不仅发现了这几种图形排列中的规律，还从中概括出了这一类图形排列中的整体规律，不过老师还想请教一下，是不是所有图形无论怎么摆，都是几n加1的规律呢？
学生有的说是，也有人说不一定，更多人在思考。
2、两层的正方形摆放的规律探讨。
老师这里还有一个新问题，你们能帮助解决么？（出示课件）
师：如果照这样依次摆下去，小棒根数还有没有规律？你们可以小组内部商量一下，并写下来。
学生出现的情况： 5n+2
师：谁愿意到前面解释给大家听。
生：由2根小棒组成的基础边，在基础边的基础上每次加5根小棒，所以是5n+2。
对于她说的，你们都同意么，有问题没有。
我有一个问题，这里的“n”代表什么？
设计意图：《数学课程标准》在“基本理念”中指出，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
在获得三角形和正方形排列规律后，本环节在操作方法和互动方式上进一步开放，为学生获得充分的活动经验和总结解决问题的策略提供了素材。
四、课堂小结
这节课马上就要结束了，我感受到你们真是太优秀了，这么复杂的规律你们都能发现，应该把掌声送给自己。
通过这节课的学习你有什么感受？谁来说说。
……
注意根据学生的回答，适时介绍从简单到复杂的归纳递推是数学中总结规律的常用方法。
今天这节课我们一起研究了关于图形的简单规律，其实提到图形中的规律，还有很多更有趣的内容，你们课下可以自己去搜集，也可以自己来创造，相信你们在自己的努力之下，一定会有更多更大的收获。