三．动能与动能定理1. 动能：（1）物体由于运动而具有的能量叫做动能， 动能的大小等于质量与速率平方乘积的一半，212k E mv =，动能是标量，单位是焦耳（J ）。

（2）当物体只是速度大小改变时，动能不变。

由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。

例1. 如图所示，分别表示物体的速度、位移、所受合外力、动能随时间变化情况，其中表示物体受力一定平衡的是（ ）2. 动能定理 (1)定理的推导:由牛顿第二定律：=F ma ，又由运动学公式：22212v v as -=，联立得：22211122Fs mv mv =-。

由上式可得：外力对物体做的总功，等于物体动能的增量。

这就是动能定理。

(2)动能定理的解题步骤①明确研究对象和研究过程，②分析受力情况，求出各个力做功的情况，正功还是负功， ③找出物体初末状态的动能（或动能的变化量），④建立方程，求解未知量。

例1.质量为2m kg =的物体，在12F N =的水平拉力作用下沿水平面由静止加速运动，动摩擦因数为0.2，则物体运动8m 后，速度变为多大？若此时撤去力F ，物体还能运动多远？例2. 以10m/s 的初速度竖直向上抛出一个质量为0.5kg 的物体，它上升的最大高度为4m ，设空气对物体的阻力大小不变，求物体落回抛出点时的动能。

例3. 一个质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提升1m ，这时物体的速度是2m/s ，分别求手对物体做的功、合力对物体做的功和物体克服重力做的功为多少（g 取10m/s 2）？例4. 某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40km/h ，一次一辆卡车在市区路面紧急刹车后，量得刹车痕迹s = 18m ，假设车轮与路面的滑动摩擦系数为0.4。

问这辆车是否违ABCD1v 2v章？试通过计算予以证明。

（3）动能定理的几种典型的应用 ①用动能定理求解力的大小如果物体受多个力（其中一个力未知）作用而运动，在物体的位移和初末速度已知的情况下，可以求得未知力的大小。

例1. 如图所示，拉力F 沿斜面向下，物体由静止沿斜面向下运动，当运动到斜面的中点时，撤去力F ，物体恰好停在斜面低端，求力F 的大小。

已知动摩擦因数为0.8，物体质量为10kg ，斜面倾角为37︒。

例2. 质量为2m kg =的物体，在与水平方向夹角为37︒力F 作用下沿水平面运动，物体与水平面间的动摩擦因数=0.2μ，速度由15v m s =增加到210v m s =时发生的位移为10m ，求力F 。

（试用两种方法）②求变力做的功变力做功不能用cos W Fs θ=直接计算，但当其他力做功和动能增量容易求得时，可由动能定理求变力的功。

例1. 如图，半径为0.8R m =的AB 为四分之一圆弧，圆弧在B 点与水平地面相切，一物体由A 点自由下滑，到达距离B 点3s m =的水平面上停下来，若圆弧与水平面的动摩擦因数均为0.2，求物体在AB 段克服阻力做的功。

例2. 如图，物体在平台上做半径为r 的匀速圆周运动，拉力为F 。

若拉力增大到8F 时，半径变为2r，求拉力做的功。

③解决往复运动问题（多过程问题）多过程问题因运动过程复杂，应用牛顿第二定律将非常繁琐甚至无法求解，若能抓住此类问题的初末状态，利用动能定理，往往可避繁就简，迎刃而解。

例1．质量为m 的小球从离地高为h 处自由下落，空气阻力f kmg =，1k <，落地反弹无机械能损失，则碰撞了n 次后可上升的高度是多少？最终运动的路程多大？例2．如图所示，斜面低端固定一挡板，一物体从距离斜面低端0s 处自由下滑，与挡板碰撞后以原速率反弹，动摩擦因数为μ，物体质量为m ，斜面倾角为θ，tan θθ<。

求物体与挡板碰撞n 次后，物块离挡板的最大距离为多少？最终总路程为多少？④动能定理的图像问题要注意图像的斜率、截距等的物理意义，并结合动能定理的表达式，求解该类问题。

例1. 物体沿直线运动的的v t -关系如图所示，已知在第1秒内合外力做的功为W ，则（ ）A ．从第1秒到第3秒末合外力做功为4W B ．从第3秒末到底5秒末合外力做功为-2W C ．从第5秒末到第7秒末合外力做功为-W D ．从第3秒末到底4秒末合外力做功为0.75W -例2. 质量为2kg 的物体，沿水平面做直线运动，其动能随位移的变化图线如下图所示，关于此物体的下述判断，正确的是（ ）A ．物体做匀减速直线运动。

初速度大小为10m sB ．物体所受合外力大小等于4N ，方向与初速度方向相反C ．物体与地面间的动摩擦因数一定等于0.2D ．物体运动速度为零时，经历的时间为5s 例3．如图为某物体沿直线运动时的动能kE 与位移s的关系图像，试分析物体所受合外力F 的图像。

⑤应用动能定理求解连接体问题 连接体问题主要有轻绳连接体、轻杆连接体，解决这类问题的方法主要有机械能守恒和动能定理，必要时结合运动的合成与分解找出两物体速度的关系，联立方程解得未知量。

∆轻杆连接体例1．如图所示，在长为l 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量均为m 的小球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。

求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功?例2．一根轻质细杆的两端分别固定着A 、B 两个质量均为m 的小球，O 点是水平固定放置的光滑轴穿过细杆。

已知==2AO BO l ，当从水平位置由静止释放细杆后，细杆开始转动，当A 球转到O 点正上方时，A 球的速度为多大？另：若将细杆在O 点弯折90︒，如右图所示，释放后A 球最大速度为多少？AO 杆转过的最大角度为多少？E 1∆轻绳连接体例1．如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K ，一条不可伸长的轻绳绕过K 分别与A 、B 连，A 、B 的质量分别为m A 、m B ，开始时系统处于静止状态．现用一水平恒力F 拉物体A ，使物体B 上升．已知当B 上升距离 h 时，B 的速度为 v ．求此过程中物体A 克服摩擦力所做的功．重力加速度为g ．例2.如图所示，在光滑的平台上，有一质量为m 的物体，物体与轻绳的一端相连，轻绳跨过定滑轮（定滑轮的质量和摩擦不计）另一端被滑轮正下方站在地面上的人拉住，人与绳的接触点和定滑轮的高度差为h ，若此人以速度v 0 向右匀速前进s ，求在此过程中人的拉力对物体所做的功。

例3. 摄制组在某大楼边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶，如图所示。

若特技演员质量50m kg =（人和车可看成质点），导演在某房顶离地=8H m 处架设了轮轴，轮和轴的直径之比为2:1，若轨道车从图中A 处前进到达B 处时，速度为5v m s =，60θ=︒，则由于绕在轮上的细钢丝绳的拉动，特技演员（ ）A ．上升的高度为4mB ．上升到最高点时具有竖直向上的速度6m sC ．在最高点时具有的机械能为2900JD ．钢丝在这一过程中对演员做的功为1225JOO⑥动能定理与其他知识的综合问题∆与圆周运动的结合：这类问题尤其应该注意竖直平面内圆周运动在最高点的临界条件。

例1．半径 R = 20cm 的竖直放置的圆轨道与水平直轨道相连接。

如图所示。

质量为 m = 50 g 的小球A 以一定的初速度由直轨道向左运动，并沿圆轨道的内壁冲上去，如果A 经过N 点时的速度v 1 = 4m/s ，A 经过轨道最高点M 时对轨道的压力为 0.5N ，取 g = 10m/s 2．求：小球A 从N 到M 这一段过程中克服阻力做的功W ．∆与平抛运动及绳端速度的突变相结合：在绳子突然张紧瞬间，沿着绳子方向的速度突变为零，垂直于绳子方向的速度不变。

例1． 一质量为m 的质点，系于长为R 的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O 点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。

今把质点从O 点的正上方离O 点的距离为8R /9的O 1点以水平的速度 v 0 =gR 43抛出，如图所示。

试求： ⑴ 轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？⑵ 当质点到达O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？∆与汽车启动相结合：充分联系汽车的两种启动过程，注意启动过程中牵引力做功的表达式可以为=W Fs （恒定牵引力）和=W Pt （牵引力的功率恒定）例1．汽车发动机的功率为60KW ，若其总质量为5t ，在水平路面上行驶时，所受的阻力恒为5.0×103 N ，试求：⑴ 汽车所能达到的最大速度。

⑵ 若汽车以0.5m/s 2的加速度由静止开始匀加速运动,求整个加速过程能持续多长时间?动能定理练习题11．一物体在竖直平面内做匀速圆周运动，下列物理量一定不会发生变化的是（）A．向心力B．向心加速度 C 动能D．机械能2．行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭线圈，线圈中产生电流，上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（）A 物体克服阻力做功B．物体的动能转化为其他形式的能量C．物体的势能转化为其他形式的能量 D 物体的机械能转化为其他形式的能量3．一个质量为m的物体，以a = 2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度过程中，物体的（）A．重力势能减少了2mgh B 动能增加了2mghC．机械能保持不变 D 机械能增加了mgh4．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（）A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了C．物体所受弹力和摩擦力都减小了D 物体所受弹力增大，摩擦力不变5．质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F的作用从静止开始通过位移时的动能为E1，当物体受水平力2F作用，从静止开始通过相同位移，它的动能为E2，则下列关系式中正确的是（）A．E2 = E1B．E2 = 2E1 C E2 ＞2E1D．E1 ＜E2 ＜2E1 6．如图所示，传送带以v0的初速度匀速运动。

将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带带到B端，已知物体到达B端之间已和传送带相对静止，则下列说法正确的是（）A 传送带对物体做功为mv02/2B．传送带克服摩擦做功mv02/2C．电动机由于传送物体多消耗的能量为mv02/2D 在传送物体过程产生的热量为mv02/27．利用传感器和计算机可以测量快速变化的力的瞬时值。

如图中的右图是用这种方法获得的弹性绳中拉力随时间的变化图线。

实验时，把小球举高到绳子的悬点O处，然后放手让小球自由下落。

由此图线所提供的信息，以下判断正确的是（）A．t2时刻小球速度最大B t1~t2期间小球速度先增大后减小C．t3时刻小球动能最小D．t1与t4时刻小球速度一定相同8．如图所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（）A 物体的重力势能减少，动能增加B．斜面的机械能不变C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D 物体和斜面组成的系统机械能守恒9．如图所示，粗糙的水平面上固定一个点电荷Q，在M点无初速度是放一带有恒定电量的小物块，小物块在Q的电场中运动到N点静止。