的
动
量
定
理
：
I
t
F (t )dt
t0
p
p 0
动量定理常用于碰撞过程。
4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I t t0
t t
Fd t
0
t t0
p p0 t t0
5
【例】质量 m=140g 的垒球以速率 v = 40m
/s 沿水平方向飞向击球手，被击后以相同
速率沿仰角 60o 飞出。求棒对垒球的平均
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[(v u) dt
v]
u dm dt
喷射的气体对火箭体的推力
：
F
u
dm dt
【思考】自由空间火箭质量随时间变化，应
用牛顿定d律(dmtv )
m
dv dt
v
dm dt
0
，求
出 错在哪里？
vf
vi
mi mf
20
§ 3.5 质心（ center of mass ）
第 3 章 动量与角动 量 Momentum and
Angular Momentum
2005 年春季学期 陈信义 编
目录
§3.1 冲量 动量定理
§3.2 质点系的动量定理
演示实验
§3.3 动量守恒定律
1 逆风行舟
§3.4 火箭飞行原理
2 载摆小车演示
§3.5 质心
动量守恒
§3.6 质心运动定理 质心参考系 3 质心运动（杠
造成的巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约
有足球场大小和 14 层楼深的凹洞。而撞击溅射出
的大量彗星尘埃和气体又将使坦普尔一号彗星熠
熠生辉，人们有可能通过小型天文望远镜目睹这
一史无前例的奇异天象。
10
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰 冻残留物。他们希望深入彗星内部的研究将使他 们能够了解太阳系形成早期 40 多亿年前的情况， 并加深对太阳系起源的进一步了解。
天文学家们将组织一场国际规模的观测，以 期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局 还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜， 在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号”进行观测 。 美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗 星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§ 3.2 质点系的动量定理
一、质点系
fi
r
sin t
,
S
1 2
r
r
sin
太阳
r
S r
行星m
v
r sin
2m
S t
常数
所以，面速度
S t
常数。
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫
过相等的面在积近。日点转得快，在远日点转得35 慢。
§3.9 质点系的角动量定理
一个质点系所受的合外力矩，等于该质
点系
的
总角
动
量对时 M
间的 dL dt
i
j i
fij
fi
d dt
i
pi
fi
p i
ri
mi f ij f ji
o惯性系rj m j
pj
fj
fij
i, j( i)
i
fi
d dt
i
pi
,
i,
j(
fij
i)
0（ 合 内 力 为 零 ）
i
fi
d dt
i
pi
,
即 F＝ddPt（系）惯性
14
§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量
dv
u
dM M
,
vf vi
vf
Mf
dv u
vi
u
ln
Mi Mf
Mi
dM M
设火箭质量比N Mi Mf ，火箭增加的速度为
vf vi u ln N
提高速度的途径：
1 、提高气体喷射速度 u ；
2 、增大 Mi /Mf （受限制），采用多级火 箭，终速度为
v u1 ln N1 u2 ln N 2 u3 ln N 3 19
质点系的质心，是一个以质量为权重取
平均的特殊点。
1 、质心的位置
rc
N mi ri
i 1 N
mi
N mi ri
i 1
m
i 1
质点系
mi
ri c 质
心
o rc
【思考】写出上式的分量形式
21
对连续分布的物质，分成 N 个小质元计
算
rc N ri mi m rdm m
2
、
质
心
的
速
i 1
度 vC
i
j i ri
fij
d dt
i
合内力矩为零
系 Li
的角动量 定
fi
mi
fij
ri
O
ri rj
rj
fji
m
j
fj
i
j i ri
fij
1 2
1 2
ri
i , j(i j )
化；力矩的时间积累引起角动量的变化。
本章从牛顿力学出发给出动量和角动
量的定义，推导这两个守恒定律，并讨论
它们在牛顿力学中的应用。下一章讨论能
量。
3
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲 量（ impulse ）：
dI Fdt
I
t
F (t
)dt
t0
牛顿第二定律 dI Fdt
质点 dp
drc dt
iN 1m i vi
m
3
、质心的动量 Pc
mvc
N
mi
vi
i 1
N
pi
i 1
P
在任何参考系中，质心的动量都等于质
点系的总动量。 4 、质心的加速度
ac
dvc dt
N
mi
ai
i 1
m
22
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定
理
F
dP dt
mac
（惯性系）
f2外
p2
F 2mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
20.1440cos 1.210 3
30
8.1103(N)
平均打击力约为垒球自重的 5900 倍！在碰 撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
8
【演示实验】逆风行舟
水
F阻
F横
龙
骨
F
F横
显示动量定理的矢量性 。
V
v1
F纵
m
帆
v2
但因宏观物体的角动量比 大得多，所
以 宏 观 物 体 的 角 动 量 可 以 看 作 是 连 续 变 化31
质点的角动量定理：
质点所受的合外力矩，等于质点角动量
对时间的变化率
合外
力
矩 ：M
r
M
dL dt
F ，角动
量
：L
r
p
M 和 L 都是相对惯性系中同一定点定义
积的分。形 式 ：
t2 t1
于所
受合
外
F＝
fi ：合外力
i P＝
pi
：总动量
i
内力可改变各质点的动量
fi
pi ri
mi fij f ji
， 无
但 影
合内力为零，对总动量 响应。用 质 点 系 动 量 定 理 不
o
惯
性
系rj
mj
p j
fj
必考虑内力。
13
证 明 ：对 第
点fij
fi
j i
i 个质
d dt
pi
对质点求和
p1
p
p 2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进
？
9
“ 炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日，美国发射的 “深度撞击”号
（ Deep Impact ）探测器携带的重 372 千
克的铜头“炮弹” ，将以每小时 3.7 万公里的速
度与坦普尔一号彗星（ TEMPEL1 ）的彗核相撞
。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药
变
化率
合 总 它
外 角 们
力 动 都
矩 量 对
：M Mi
i
：L Li
i
i
惯性系中同
ri
fi
rii mivi
一定点定
m
义ri
i
【。思考】为什么不考虑内力矩 O
fi
rj
vi
mj
vj
fj
？
36
质点 理r：i
ri
i
的角动量定理质点
fi
fij
j i
dLi dt
fi
m2
m1
p3
m3
f1p外1 f3外
和内力为零 ！
P
F
m 质心
m Pc
mp11
mp 22
mp 33
F f1外 f2外 f3外 23
质心运动定理描述了物体质心的运动。 体系的内力不影响质心的运动。
【演示实验】质心运动（杠杆）、锥体上 滚 【例】已知 1/4 圆 M ， m 由静止下滑，求 t
过 程 ，实 验 表 明 ： 只 要 系 统 不 受 外 界 影 响
, 这些过程的动量守恒。
5 、物理学家对动量守恒定律具有充分信