例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
y 0
α o
β
x
质点系的动量定理
3.1.2质点系的动量定理
动量守恒定律 质心运动定理
1. 质点系的动量定理
第i个质点的动量 质点系的动量
pi mii n p mii
I Fdt m - m0
0
3
0 0
3
3
0
Fdt m
3
0
(3 4t )dt m
2.7m/s
F 3 3 4 3 2 a 3 1.5(m/s ) m 10
F a m
质点的动量定理
例 枪膛内的子弹在发射过程中受随时间变化的爆炸力的作用, 力的大小 度 子弹初速度为零,出口时，速 。求（1）子弹走完枪膛全程所需的时间；
定义冲量
t
t0
p Fdt dp p p0 p0
I
t
t0
Fdt
表示力对时间的累积效应
I p p0
动量定理：在一段时间内,质点动量的增量,等于在这段 时间内外力作用在该质点上的冲量。
质点的动量定理
在直角坐标系中
I x Fx d t px p0 x
I y Fy d t p y p0 y
( j i ) f ji ) 0
t0
i 1 i 1
i 1
i 1
为质点系受到的合外力。
n I I i 为合外力的冲量。
i 1
i 1
n 为始、末总动量。 p0 pi 0 p pi
n i 1
由此得
I p p0
质点系的动量定理：作用于质点系合外力的冲量等于系 统动量的增量.
两种特殊情况
例 解
0 or π r // p 求质点 m 相对于 O 和 O的角动量
m11 m22 m33 0
所以，这三个动量必处于同一平面 内，且第三块的动量必和第一、第 二 块的合动量大小相等方向相反。 1 和 2相互垂直 因为
2 2
m11
m33
(m33 ) (m11 ) (m22 )
2
m22
质点系的动量守恒定律
由于m1 m2 m, m3 2m,
(m33 ) 2 (m11 ) 2 (m22 ) 2
②大小 ：
M o F rF sin
和 构成的平行四边形的面积。 等于 r F
r sin d
是O 点到力的作用线的垂直距离－力臂
M o F Fd
即力矩可以表示为力的大小与力臂的乘积。
(2)质点系的所有内力对任一参考点的力矩的矢量和等于零。
(3)在直角坐 标系中力矩的计算 r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
（2）子弹在枪膛受到的爆炸力的冲量；（3）子弹的质量。 解（1）子弹出口时， 由此 得 （2）
（3）
由动量定理
例 小球质量 m=200g，以 0 8m/s 的速度沿与地面法线成α=30° 角的方向射向光滑地面，然后与法线成β=60° 角的方向弹起。设 碰撞时间 t 0.01s ，地面水平，求小球给地面的平均冲力。
求在t=1.0s时所受的相对于坐标原点O的力矩
解
dr 2 3 2 [6t i 4t 9t j ]m/s dt d 2 2
a dt [12ti 6 2t 3t j ]m/s
2 F ma [12ti 6 2t 3t j ]N Mo (F ) r F xFy yFx k
所以 3 的大小为
1 3所成角 和
1 1 2 2 3 1 2 302 302 21.2(m/s) 2 2
180
0
m22 tan 1, 450 , m11
m33
m11
m22
1350
3 和 2 及 1都成1350 角且三者都在同一平面内 即
质点系的动量守恒定律
当质点系所受合外力
dp 0 dt
F 0,
n p pi 常矢量
i 1
当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量保持不变。
质点系的动量守恒定律
动量守恒定律的分量式
当 F x ＝0， 当 F y ＝0，
p
i 1 n i 1 n
n
ix
miix C1
i 1 n
n
p
i 1
iy
miiy C2 miiz C3
解 小球受力如图
质点的动量定理
f
G
代入第二式 m0 sin ( f mg )t cos m0 cos sin m0 m0 m0 (sin cos cos sin ) sin( ) sin sin sin m0 小球对地面的平均冲力为f 的反作 f mg 187 N sin t 用力，与 f 大小相等，方向相反。
i 1
质点系的动量 p mc dc dp m maC dt dt
质心运动定理
F mac
dp F dt
作用在系统上的合外力等于系统的总质量与质心加速度的乘积。 讨论 （1）一个质点系质心的运动，就好象一个质点的运动。 该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点所受的力等 于整个质点系所受外力。 （2）内力不影响质心的运动。
测出 算出 由
在打击或碰撞问题中用来求平均力。
应用动量定理解题 (1)分析受力; (2)写出始动量 (3)由 ,末动量 , 冲量 的表达式；
列方程.(一般需建立坐标系,投影计算.)
注意:所有速度必须是相对于同一惯性系
问题 质量为m的质点做匀速圆周运动,速度大小为 ,求其 从A运动到B过程中所受到的冲量的矢量表达式。从A到C呢？
i 1
质点系动量定理的推演 对质点 i :
F1
n
Fi fi Fi
t t I i Fi dt ( f ji )dt pi pi 0
t0 t0 i 1 ( j i )
j 1 ( j i ) n
f ji
f f j1 1 j
f i1 f1i
f ji
Fj
1
j f ij
m(mx M ) MM 0
M
M
m
mx
mM M m
N
Mg mg
m
R
质点系的动量守恒定律
mx
mM M m
设 m 在槽上运动的时间为t,而m相对于M在水平方向移动的距离为R, 有
mM R mx dt 0 m
t
0
t
M
dt
于是槽在水平面上移动的距离
m S M dt 0 mM
t
m 0 mxdt m M R
动 量 角 动 量
第 三 章
力对时间的累积效应→动量定理 动量守恒定律
力矩对时间的累积效应→角动量定理 角动量守恒定律
主要内容
（1）质点动量定理;质点系的动量定理 及守恒定律; （2）质点的角动量定理及守恒定律;
（3）刚体定轴转动的角动量定理及守恒 定律.
牛顿第一定律
3.1
动量定理 动量守恒定律 质点的动量定理
t0
t
t0
t
I z Fz d t pz p0 z
t0
t
动量定理的两点说明
(1)冲量的方向
冲量I 的方向一般不是某一瞬时力 Fi 的方向，而是所有 t 元冲量 F d t 的合矢量 Fdt的方向。 t
0
质点的动量定理
(2)冲量总等于物体始、末动量的矢量差
打击或碰撞，力F的方向保持不变，
质点系的动量定理
讨论
(1)只有外力才能改变系统的动量,而系统的内力(系统内各质
点间的相互作用力)不能改变系统的动量.
(2)对于无限小的时间间隔,质点系的动量定理写成
Fdt dp
或
dp F dt
质点系的牛顿第二定律
系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力. 2. 质点系动量守恒定律
如果 F i i 1
注意：
（1）质点的动量守恒与质心保持匀速直线运动状态或静止 状态是等效的。