2.3.2 方差与标准差1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)[基础·初探]教材整理方差与标准差阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题．1．极差的概念我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．2．方差与标准差的概念(1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x－，则称s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为这个样本的方差．(2)方差的算术平方根s＝1n∑i＝1n?x i－x－?2为样本的标准差．填空：(1)已知样本方差为s2＝110∑i＝1n(x i－5)2，则样本的平均数x－＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：】【解析】由题意得x＝5，n＝10，∴x＝x1＋x2＋x3＋…＋x1010＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50.【答案】 5 50(2)数据10,6,8,5,6的方差s2＝________.【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝.【答案】[小组合作型]方差与标准差的计算(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．图2-3-7(2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________.【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算．【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝.(2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1，方差s ′2＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝4，新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的均值x ＝110(x 1＋a ＋x 2＋a ＋…＋x 10＋a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝1＋a .新数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x 10＋a 的方差s 2＝110[(x 1＋a －1－a )2＋(x 2＋a －1－a )2＋…＋(x 10＋a －1－a )2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.【答案】(1) (2)1＋a 2求样本方差或标准差的步骤：(1)求样本的平均数x－＝1n∑i＝1nx i；(2)利用公式s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2求方差s2；(3)利用s＝s2求标准差s.[再练一题]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【解析】由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】 2方差与标准差的应用件中抽取6件测量，所得数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数与方差；(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【精彩点拨】求平均数→计算方差→根据方差的大小进行判断【自主解答】(1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同． 又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．[再练一题]2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下： 甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)【解析】 x 甲＝80，x 乙＝80，而s 2甲＝15×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.s 2乙＝15×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.∵x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适． 【答案】 甲[探究共研型]平均数、方差的性质探究 1 s ＝0表示怎样的意义？【提示】 由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s ≥0，当s ＝0时，表示所有的样本数据都相同．探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？【提示】 设样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则样本x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x －＋b ，方差为s 2；样本ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x －，方差为a 2s 2.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差． 【精彩点拨】 本题可用两种解法． 方法一是直接套公式计算．方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解． 【自主解答】 法一：身高的平均数x －＝ 161＋163＋162＋165＋1645＝163(cm)，标准差s ＝15[?161－163?2＋?163－163?2＋?162－163?2＋?165－163?2＋?164－163?2] ＝2(cm)．法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4， 新数据的平均数x －′＝15(1＋3＋2＋5＋4)＝3，新数据的方差s ′2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，由平均数及方差的性质得原数据的平均数x －＝160＋3＝163(cm)， 原数据的标准差s ＝s ′2＝2(cm)．1．平均数、方差具有以下性质．(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．(2)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．[再练一题]3．已知k 1，k 2，…，k n 的方差为5，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的方差为________. 【解析】 设k 1，k 2，…，k n 的平均数为k ，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的平均数为3(k －4)，∴s 2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －4)－3(k －4)]2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －k )]2＝9×1n ∑i ＝1n (k i －k )2＝9×5＝45.【答案】 451．下列叙述不正确的是________．(填序号) ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平； ②极差描述了一组数据变化的幅度；③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定．【解析】 选项①②③都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确的．故选④.【答案】 ④2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲 乙 丙 丁 平均数x －8 方差s 2【解析】 由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定． 【答案】 丙3．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________．【解析】 由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－＝.【答案】4．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________. 【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y5＝10，15()92＋102＋112＋x 2＋y 2－102＝4，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20， ①x 2＋y 2＝218， ②①2－②得2xy ＝182， ∴xy ＝91. 【答案】 915．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数， 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据两个供货商的交货情况．并计算哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性？【解】 x －甲＝110(10＋9＋…＋10)＝，s 2甲＝110(102＋92＋…＋102)－＝， x －乙＝110(8＋10＋…＋12)＝，s 2乙＝110(82＋…＋122)－＝. ∴s 2甲<s 2乙.从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些，从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商．。