一线三等角模型
一 . 一线三等角概念
“一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。

二 . 一线三等角的分类
全等篇
C
D
D
C
A
P
B
A
P
B
锐角
直角
D
D
D
C
A
P
B
同侧
钝角
D
A
A
B
P
P
B
A
B
P
C
C
相似篇
C
异侧
D
C
D
C
A
P
B
A P
B
锐角
直角
D
D
C
A P
B
同侧
钝角
D
D
A
B
P
A
B
P
A
B
P
C
C
C
异侧
三、“一线三等角”的性质
1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE.
2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等
. 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.
3.中点型“一线三等角”
如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.
4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 )
如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901
BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2
造“一线三等角”.
如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
BOC901
BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2
在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 .
5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）
图 3-5
其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况 .
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角
或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张
角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角
解决问题更是重要的手段 .
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图 3-6 ，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

两条垂线通常情况下是为了“量化”的需
要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不
容易掌握 .
解题示范
例 1 如图所示，一次函数一个动点（不包括 A 、B 三角形 ,求点P 的坐标 .
y x 4 与坐标轴分别交于 A 、B
两端点），C 是线段OB 上一点，∠
两点，点P 是线段
OPC=45 °，若△OPC
AB上
是等腰
例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，∠ C=90 °,∠ ABD= ∠ DBC=22.5 °， AE ⊥BC 于 E，∠ADE=67.5 °， AB=6, 则 CE= .
例 3 如图，四边形 ABCD 中 ,∠ ABC= ∠ BAD=90 °，∠ ACD=45 °， AB=3 ，AD=5. 求 BC 的长 .
例 4 如图，△ ABC 中,∠ BAC=45 °， AD ⊥ BC ， BD=2 ， CD=3, 求 AD 的长 .
.找出相似形，
一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙
比例不能少 .巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例 5 如图，在△ABC 中，∠ BAC=135°， AC= 2 AB, AD⊥AC交BC于点D，若AD = 2 ，求△ABC的面积
当然有 45°或 135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.
大练身手：
例 7：在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1， 0）， B（ 0， 3）， C（－3， 0）， D 是线段 AB 上
一点， CD交y轴于 E，且 S△BCE＝ 2S△AOB．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）求点 D 的坐标，猜想线段 CE与线段 AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若 F 为射线 CD 上一点，且∠ DBF＝ 45°，求点 F 的坐标．
y
B
D
E
C O A x
例 8：如图，直线y＝ x＋2 与y轴交于点 C，与抛物线y＝ ax2交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），
BC＝ 2AC，点 P 是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 P 在直线 AB 的下方，求点 P 到直线 AB 的距离的最大值；
（3）若点 P 在直线 AB 的上方，且∠BPC＝ 45°，求所有满足条件的点P 的坐标．
y
B
C
A
O x
练1： .如图，抛物线的顶点为 C（－1，－ 1），且经过点 A、点 B 和坐标原点 O，点 B 的横坐标
为－ 3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 为抛物线上的一点，且△ BOD 的面积等于△ BOC的面积，请直接写出点 D 的坐标；
（3）若点 E 的坐标为（ 0， 2），点 P 是线段 BC 上的一个动点，是否存在点P，使得∠ OPE ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B
E
A O x
C
课后作业：
如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若∠APB=45 °，求点P 的坐标
在四边形ABCD 中，∠ ABC= ∠ BAD=90 °，∠ ACD=45 °， AB=3,AD=4, 求 AC 的长 .
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC= 3 BC
如图，△ ABC :△ DBA,且 AC= 2 BC,求证:CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，∠ ABC＝90°，AB＝ 3， BC＝ 4， CD＝ 10，DA＝5 5，求 BD 的长
如图，点2），点△A 是反比例（ X ＞0）图形上一点，点
ABC 是等边三角形时，求点 A 的坐标
B 是
.
X 轴正半轴上一点，点 C 的坐标为（0，
如图，抛物线 y＝ax 2＋＋
与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y轴交于点 C，bx 4
直线 l：y＝－17
），点 P 是直线 l 上方的抛2 x＋m 经过点A，与抛物线交于另一点D（ 5，－2
物线上的动点，连接PC、PD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ PCD为直角三角形时，求点 P 的坐标；
（3）设△ PCD的面积为S，请你探究：使S 的值为整数的点P 共有几个，说明理由．
y
C
l
A O
B x
D
1.如图
y4x 222
交于点 A（ 3， 6）. 1, 已知直线 y=kx 与抛物线273
（ 1）求直线 y=kx 的解析式和线段OA 的长度；
（ 2）点 P 为抛物线第一象限内的动点, 过点 P 作直线 PM, 交 x 轴于点 M （点 M、 O 不重合） , 交直线 OA 于点 Q, 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 , 交 y 轴于点 N. 试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是, 求出这个定值 , 如果不是 , 说明理由；
（ 3）如图 2, 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点, 点 E 在线段 OA 上（与点 O、 A 不重合） , 点 D（ m，0）是 x 轴正半轴上的动点, 且满足∠ BAE=∠BED=∠ AOD. 继续探究： m 在什么范围时 , 符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、 2 个？
y
P
y
A A
E
Q
N
B
O M x O D x 图 1图 2
如图，直线 AC：y＝－ 2x＋ 2 与 x 轴交于点A，与y轴交于点过A、 C两点，与 x 轴交于另一点 B（ B 在 A 的右侧），且△（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 为抛物线上一点，∠ DCA＝ 45°，求点 D 的坐标；
2
C，抛物线y＝ ax ＋ bx＋c（ a＞ 0）
y y
C C
O A B x O A B x
备用图。