“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用
一、“一线三等角”模型的提炼
例1、（2015 年山东·德州卷）
(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应
用：
请利
用
(1)、
(2)获
得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.
变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究
如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1
和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK =∠ACD1．作
D1M ⊥ KH，D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．
( 2) 拓展延伸
1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线
K1H1
，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1= ∠BH2K2=∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．
2 如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．
D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
二、添加辅助线后运用基本图形
例1、在△ABC中，
AB =2，∠B = 45°，以
点A为直角顶点作等腰
Ｒt△ADE，点D 在BC
上，点E 在AC上，若
CE=5，求CD的长。
例2、 ( 2013 年海淀区
一模22 题最后一问) 如
图，l1、l2、l3是同一
平面内的三条平行
线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之
间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶
点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边
长．
例3、 如图，在
矩形纸片AＢＣＤ
中，ＡＢ＝５，
ＢＣ＝４，在Ａ
Ｂ边上取点Ｇ，
现将纸片沿ＥＧ
翻折，使点Ａ落
在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。
三、应用举例
1、等腰三角形底边上的一线三等角
例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1) 如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，
写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。
(2) 如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段
AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助线，写出图中
所有相似的三角形，并证明。
(3) 在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角
形面积的1/4时，求线段EF的长。
例2、如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC
=2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角
板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三
角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点
E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤
α ≤ 90°) ．
( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;
( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;
( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应
x 的值; 若不能，请说明理由．
【例3】（2012四川·成都卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）
6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，
∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形
状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且
保持PE⊥AB，设BP=x，四边
形AEPF面积的y，求y与x的函数关
系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且
∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
2、四边形中的一线三等角
例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，
且始终保持AM ⊥ MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值
例2
例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，BC = 4AD
= 4 2，∠B = 45°，点 E、F 分别在边BC、CD 上移动，且
∠AEF = 45°，则点E移动过程中，线段AF 长
的最小值是（）
例4．如图,在梯形
中，
，
，
，点
分别在线段
上（点
与点
不重合），且
，设
，
．
⑴ 求
与
的函数表达式；
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
⑵ 当
为何值时，
有最大值，最大值是多少？
例4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，
，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.
（1）求AC和AD的长；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.
Image
3、函数问题中的一线三等角．
例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x2在第二象限上的点，连结OA，过点O 作OB ⊥ OA，交抛物线于点B，以OA、OB 为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为－1/2时，求点B 的坐标．
例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = － 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3，6) ．若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ，点D( m，0 ) 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE = ∠BED = ∠AOD．试探究: m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2 个?。