v AF 7Pl3 60EI
此道题也可采用李兹法。设挠度曲 线 。 n
v(x) ai xi i 1
例5 用矩阵法写出下图所示连续梁单元 ①②的单元刚度矩阵，建立总刚度方 程，并进行约束处理，计算节点处的 位移。已知EI为常数，A l3 / (12EI ) 。
l
3
l
解:(1)根据结构的受力特点，将它离散 为2个单元，3个节点，并建立杆元的 局部坐标及结构的总坐标如上图所示。
结构力学例题
例1 利用梁的弯曲要素表计算下图中梁 的固定端弯矩。已知 l / (6EI) 。
解：由叠加法原理可将上述结构拆为下 列情况的组合。
q
M1
M2
ql / 3
通过查弯曲要素表有
图（a）中
1
M1l 3EI
M 2l 6EI
2
M1l 6EI
M 2l 3EI
图 (b) 中
3
1 45
ql 3 EI
M 32 0
弯矩图如下所示：
0.065ql 2
0.18ql 2
0.25ql 2
0.125ql 2
例4 用能量法求解如图所示梁的静不定 性。已知图中EI为常数，柔性系数
。 A l3 / (12EI )
解:设弹性支座处的支反力为F，则有力 的平衡关系可得弯矩分布函数，如下：
M (x) (F P)x (3P F)l (0 x l) 2
则杆元①在总坐标系中的刚度矩阵为
杆元②的局部坐标与总坐标一致，故有
A 0 0 A 0 0
0
12I l2
6I l
0
12I l2
6I
l
6I
K (2)
E l
0 A
l 0
4I
0 6I
2I
l
0 A 0 0
0 12I 6I 0 12I 6I
（5）
联立（4）（5）式得
M 2 11q0l02 / 90 M 3 q0l02 / 180
同时可解得
v AR A( P M2 m) 19 qolo4
2
l0
540 EI
例3 试求解下图连续梁的静不定问题。 已知 ， ， ， P ql l12 l23 l I12 I23 I l / (6EI ) A l3 / (12EI ) 。画出弯矩图。
再列节点1处弹性支座的补充方程式:
v AR A( P M 2 m )
2
l0
（3）
整理（1）（2）（3）式，并带入 Q q0l0 / 2
P 0.8q0l0 m q0l02 /15 A l03 / (6EI ) 得：
5M 2 M 3 37q0l02 / 60
（4）
M 2 2M3 2q0l02 / 15
(2)计算杆元的刚度矩阵。
杆元①:
A 0 0 A 0 0
0
12I
6I
0 12I
6I
l2
l
l2 l
K
(1)
E l
0 A
6I l 0
4I
0 6I
2I
l
0 A 0 0
0
12I l2
6I l
0
12I l2
6I l
0
6I
2I
0 6I
4I
l
l
杆元①需进行坐标转换，因 270o,故坐 标转换矩阵为
7 ql3 4 360 EI
图（c）中
5
1 48
ql 3 EI
6
1 48
ql 3 EI
由边界条件 左端点 0 ;即
1 3 5 0 （1） 右端点 2 ;即
2 4 6 2 （2）
整理得
2M1
M2
31 120
ql 2
M1
3M 2
29 120
ql 2
解得
M1
8 75
ql 2
M2
6EI
2
2
48EI
弹性支座的应变能
V2
1 2
AF 2
F 2l3 24EI
系统的总应变能
V V1 V2
l3 [(F P)2 3(3P F )(P F ) 3(3P F )2 ] P2l3 F 2l3
6EI
2
2
48EI 24EI
由“最小功原理”知
V 0 F
解得
F 7P 5
弹性支座处的挠度
9 200
ql 2
例2 用力法求解下图简单刚架，设各杆 之长度均为L,断面惯性矩均为I，并已知
P 0.8q0l0 m q0l02 / 15 A l03 / (6EI )
解: 本例的刚架为静不定结构，现将节 点3处的刚性固定约束去除，并在节点2 处切开，加上未知弯矩 M3和 M2 ，原来 作用于节点2上的外力矩m可考虑在杆1-2 上亦可考虑在杆2-3上，今考虑在杆1-2 上。于是得到两根单跨梁如下图所示。
M (x) P(3l x) 2
(l x 3l / 2)
该系统的变形能主要由两部分组成杆所 具有的变形能 V1 和弹性支座所具有的 变形能V2 。
杆件所具有的变形能
V1
[(F P)x (3P F)l]2
l 0
2 2EI
dx
3l (Px 3Pl )2
2 l
2 2EI
dx
l3 [(F P)2 3(3P F )(P F ) 3(3P F )2 ] P2l3
1
13 ql 3 1200 EI
2
ql 3 120 EI
3
3ql 3 200 EI
v3
8ql 2 300 EI
进而可得
M 12
6EI1
l
13ql 2 200
0.065 ql2
M 21
M
21
M
' 21
ql 2 8
2EI1
l
4 EI 2
l
9ql 2 50
0.18ql 2
M 23 M 21 0.18ql 2
变形连续条件为节点2转角连续及 节点3转角为零，利用单跨梁的弯曲要 素表，这两个条件给出:
• (m M2 )l0 v Pl02 M2l0 M3l0 7Ql02
3EI
l0 16EI 3EI 6EI 180EI
•
M 2l0 M 3l0 2Ql02 0
6EI 3EI 45EI
（1） （2）
M12'
4EI l
1
2EI l
2
（3） （4）
M
' 21
2EI l
1
4EI l
2
M 23 M 32 ql 2 12
M
' 23
4EI l
2
6EI l2
v3
2EI l
3
M
' 32
2EI l
2
6EI l2
v3
4EI l
3
N 32 ql 2
N32'
6EI l2
2
12EI l3
v3
6EI l2
3
将其带入整理，联立求得
A
解：设节点1、2、3的转角位移为 1,2,3 节点3的挠度为v3 。 根据平衡条件有
节点1 节点2
M12
M 12
M12'
1 (M 23 M23' ) 0 （2）
节点3 其中
M 32 M32' 0
N 32
N32'
v A
M 12 M 21 Pl ql 2 88