P 3
2

0
1
4
P 对称 2
NP
0

2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P

+0.172P 1
4
对称
25回 返
P
N
2
7—6 对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高， 计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。 结构的对称性： 指结构的几何形状、约束、刚度和 荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。 例如：
↑ ← ↓→ →X← X ↑ X ← → ↓ X
X1
3
X2
X1
↑ ← ↓→ →X←
3
X2
4
5
6
n=6
X4
X← 6
X5
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。 n=3×7=21
返8回
§7—3 力法的基本概念
作基本结构各 和MP图 由于 3=0,故
X1 1
M1图
1 X2 1
M 2图
M 3图

P
Pab LPab L22M图X
13= 31= 23= 32= △3P=0
33 3
3
1 则典型方程第三式为
MP图
Pa 2 b L2
代入典型方程 (消去公因子)得 代入典型方程解得 X =0
16回 返
（1）力法方程的物理意义为： 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义： 系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移， 其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未 知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 17
§7—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。 1. 超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法: 采用解除多余联系的 方法。 解除多余联系的方式通 → 常有以下几种： X1 （1）去掉或切断一根链杆，相 当于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
A
B
P
X1
C

X1 ↙ X 2 ↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
P 此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。 多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。 返4回 多余联系与多余未知力的选择。
3. 力法方程及系数的物理意义
返回
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知力作用下的位移，可以用第六章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 返 代入典型方程即可解出各多余未知力。 18回
…………………………………………………………… i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 …………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
（7—3）
式中： Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
13
§7—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立 力法方程以求解多余未知力。 1. 三次超静定问题的力法方程 基本体系的位移条件为：
△1=0 △2=0 △3=0
据叠加原理，上述位移条件可写成
14回 返
理解
沿X1方向： 11 、12 、13 和△1P ； 沿X2方向： 21、22、23和△2P ； 沿X3方向： 31、32、33和△3P 。 △1=11X1 +12X2+13X3 +△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0 （7—2）
3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱； （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； ⑸ （2）几何条件； （3）物理条件。 返5回 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。
L
qL2 2
↑ M图
X1 1
1
q
MP图
qL2 8
qL 8
2
M图
返回
将11、 ∆1p代入力法方程式(8-1)，可求得
11
结
论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到
静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，
根据基本体系应与原结构变形相同而建立位移条件
首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余
EI2 EI1 EI1 EI1 EI1
对称
对称
26回 返
a
a
1. 选取对称的基本结构 正对称多余未知力， 反对称多余未知力。
EI2 EI1
X1
各单位弯矩图
则 13= 31= 23= 32=0
对 称 EI1 轴
X X
3
2
基本结构
← →
X1 1
X2 1
力法典型方程简化为
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0 对称结构进一步讨论。
15回 返
11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
EI11=(1/2×3×3×2) ×4 +（3×6×3）×2 =144 EI△1P=(3×6×30+1/2×3× 3×80) ×2=1800 代入力法方程 11X1+△1P=0
解： 这是一个对称结构，为四次

10kN

X
1
6m
EI=常数
6m
基体 系
3
X 1
1

60
10kN

第七章
力
法
§7—1 概
述
1. 静定结构与超静定结构 静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。 P HA A B
VA
RB
超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。

A B

P
C RC
HA
VA
RB
P 内力超静定问题
返3回
外力超静定问题
2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
1
§7—1 超静定结构概述 §7—2 超静定次数的确定 §7—3 力法的基本概念 §7—4 力法的典型方程 §7—5 力法的计算步骤和示例 §7—6 对称性的利用 §7—7 超静定结构的位移计算 §7—8 最后内力图的校核 §7—9 温度变化时超静定结构的计算 §7—10 支座移动时超静定结构的计算 §7—11 超静定结构的特性 2
MP图是反对称的，故 △1P= △2P=0 则得 X1=X2=0
这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下， 28回 返 只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。
MP图
↓
7—4 分析图示刚架。
10kN
6m
超静定。选取对称的基本结构 只有反对称多余未知力X1 如图示， 为计算系数和自由项分别作 和MP图(见图)。 由图乘法可得
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和 基本概念。讨论如何在计算静定结构的基础上， 进一步寻求计算超静定结构的方法。
9
q
A
B
EI 原结构 L
q
A 基本体系
↑B
X1
q
↑ X
11
1
1P
10
(a)
将 ∆11=11x1 代入(a)得
(8—1) 此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 计算系数和常数项
M1图
M 2图
X3 1

M 3图
27回 返
（1）对称结构作用对 称荷载
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
↓
P
a
a P
↓
P ↓
↓P
MP图
MP图是正对称的，故△3P=0。 则 X3=0 。