11
列正则方程：


2 3 3 X
解之
1
2P 0
X1
4 6 3 P
23
3、由 N N P X1 N1 ，得
N12 0 X 1 1
4 6 3 P
23
N13
P 1 69 3 X1 P 23 3 3
1
R
2 P
3
(a) (a)解： 1、由于结构对称，取其一半为计算模型。 2、分析计算模型静不定次数。计算模型由 1 根杆 3 个自由度，4 个外部约束。 因此计算模型的静不定次数为 1，f=1。 3、取基本状态。切开 1-2 杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
1
1
1
R 2
P
α 2 <P>
P
α 2 M=1 <1>
P 1 √3 2 3 0 <P> 0 4 √3
1 1 √3 3 1 <1> 1 2 1 1 √3 4
计算影响系数
1P
c P 1 2 Pc 2 3EA EA 3 3
c 1 1 3 c 2 1 3 23 3 EA 3 3 3 3EA
第四章 力法 4-1 利用对称与反对称条件，简化图 4-15 所示各平面刚架结构，要求画出简化图及其位移 边界条件。
P
P
(a) (a)解：对称结构，在对称载荷作用下，在对称轴上反对称内力为零。 由静力平衡条件 可得 N 3
X 0
P 2
再由两个静力平衡条件，剩余 4 个未知力，为二次静不定。
本题中通过对称性条件的使用，将 6 次静不定的问题转化为 2 次静不定。
0 2 1 -1 4
因此 2 点的垂直位移，
2 y
N P Nl 3c 4 6 3 36 8 3 2 P 1 Pc 3EA 23 69 EA EA




4-5 求图 4-18 所示静不定刚架结构在常剪流 q 作用下 B 截面的转角。
B q
图 4-18 解： 1、分析结构静不定次数。结构有 1 根杆 3 个自由度，4 个外部约束。因此结构 静不定次数为 1，f=1。 2、取基本状态。去掉可动铰支座，取<P>,<1>状态，各杆内力如图（弯矩顺 时针为正） 。
B P α
B 1
<P>
<P>状态： M P
<1>


0
qRd R1 cos qR 2 sin
<1>状态： M1 R sin 计算影响系数
1 p
1 EJ

2 0


2 0
qR 2 sin R sin Rd
4 √3 -2 1 2
3
因此 2 点的水平位移
2x
N P Nl 2a EA 3EA

3 5 a 4 3 3 3 P 2 P 3 Pa 2 EA 3 EA



(d)解：由 4-2(d)的解答，在基本系统的 2 点加垂直单位力，内力如图。
1
0 3 -1
有一根对称轴，减少了两个静不定度 本题中通过对称性条件的使用，将 3 次静不定问题转化为 1 次静不定。 4-2 图 4-16 所示桁架各杆的 EA 均相同，求桁架各杆的内力。
1
2
4
a
3
P
(a) (a)解：1、分析结构静不定次数。结构有 4 个结点 8 个自由度，6 根杆 6 个约束，3 个外部 约束。因此结构静不定次数为 1，f=1。 2、取基本状态。切开 2-4 杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。


N13 2 P X 1 1
2 2 P
4
2 3 2 N14 0 X 1 P 2 4 2 3 2 N 23 0 X 1 P 2 4




N 24 0 X 1 1
P P
P
1
P
(b)
(b)解：对称结构，在反对称载荷作用下，在对称轴上对称的内力为零。受力分析如图所示
有 2 根对称轴，结合平衡方程，剩下三个未知数，为 1 次静不定。 本题中通过对称性条件的使用，将 6 次静不定问题转化为 3 次静不定。
(c) (c)解：对称结构，在对称载荷作用下，在对称轴上反对称内力为零。
1P
1 1 R R PR PR 3 2 2 1 2 1 11 R 2 R R 3 2 3 3
列正则方程：
2 X 1 3P 0
解之
3 X1 P 2
3、由 N N P X1 N1 ，得 23 段： M PR sin 34 段： M PR X1 x PR
4 qR 4
4 EJ
1 11 EJ
列正则方程；
R sin Rd 4EJ R
2
3
X 1 4 qR 0
解之
X1
4 qR
3、由 N N P X1 N1 ，得
4 M qR 2 s i n X 1 R s i n qR 2 s i n


2 0

4 EJ
X 1
解之
1 2PR 0、由 N N P X1 N1 ，得
M
5、校核。
PR 2 sin cos 1 X1 cos PR sin cos 1 2 2
4
3
R R
2 P 1
(b) (b) 解：1、分析结构静不定次数。结构有 1 根杆 3 个自由度，4 个外部约束。因此结构静 不定次数为 1，f=1。 2、取基本状态。去掉可动铰支座，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
4 3
4
3
α <P> 2
P
α 2 <1>
<P>状态：23 段： M P 23 PR sin 34 段： M P 34 PR <1>状态：23 段： M 23 0 34 段： M 23 x 计算影响系数


N14 N13
6 9 3 P
23
N 23 0 X 1 1
4 6 3 P
23
N 24 N 23
4、校核。 结点 2： 结点 3：
4 6 3 P
23
X 0 Y 0 X 0 Y 0
4-3 图 4-17 所示平面刚架的 EJ 为常数，求刚架的弯矩并绘制弯矩图。
N 2 1 li EA
a 2 2 a 3 1 2 2 3 4 2 EA 2 2 2 EA


3 4 2 X 1 2 P 0
1
解之
X1

2 5 P 23

3、由 N N P X1 N1 ，得
N12
2 2 14 2 1 P X1 P 2 2 23
4、校核。 结点 2：
2
3 3 P 3

X 0
Y 0
P
1
2 3
60° 30°
4
c
(d) (d)解：1、分析结构静不定次数。结构有 4 个结点 8 个自由度，5 根杆 5 个约束，4 个外部 约束。因此结构静不定次数为 1，f=1。 2、取基本状态。切开 1-2 杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
√2 2
1
√2P 2
2
1
2
0 P 4 √2P 2 <P> 3
√2P 2
1 1 4 √2 2 <1> 3
√2 2
计算影响系数
1P

N p N 1li EA
a 2 2 Pa P 2 P 2 EA 1 2 2 EA 2 2


11

列正则方程：
1 0 2
a
√2 2
1
2
0 √2P 4 -P <P>
0
0
√2 2
1 1 4 √2 2 <1> 3
√2 2
3
P
P
计算影响系数
1P

N p N 1li EA
a 2 Pa 2P 2 P 4 2 EA 2 2 EA


11

列正则方程：
N 2 1 li EA
3
a
4 -2 √3 1 2 <1>
3
2 <P>
计算影响系数
1P
a 2 Pa 3P 2 2 P 3 42 3 EA EA 3


11
列正则方程：
a 2 a 1 1 2 62 3 2 2 3 3 EA 3 EA


6 2 3 X 4 2 3 0
1
解之
X1
3 3 P
6
3、由 N N P X1 N1 ，得
N12 0 X 1 1
3 3 P
6
N 23 2 P X 1 3

3 3 P 2

N 24 3P X 1 2