P
习题
5
5-2．如习题5-2图所示的直角三角形ABC 的A 点上有电荷q 1=1.8×10?9
C ，B 点
上有电荷
q 2=-4.8×10?9 C ，试求C 点的电场强度（设BC=0.04m ，AC=0.03m ）。
解：设CB 为x 轴，AC 为y 轴，则C N E x
/107.204
.0410
8.442
09
⨯=⨯⨯=-πε，
C N E /108.103
.04108.142
09
y ⨯=⨯⨯=
-πε，C N E E E y x /102.34
22⨯=+=，电场方向和CB 的夹角为
︒==7.33arctan
x
y E E ϕ
5-3．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处的电场强度。
[解]将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量l R
Q q d d π=
dq 在O 点的电场强度2
0204d 4d d R l
R Q R q E πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在x 2
020
202x x 2d 4sin d R Q
R Q E E E επθεπθπ
=
===⎰
⎰方向沿x 5-4．如习题5-4图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为
q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。
[解]建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元
x L
q
q d d =
，它在P 点产生的电电场强度度为 则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为 故()i
E
d L d q
+=
04πε
5-5．一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。
求板内外的电场分布，并画出电场强度随坐标x 变化的图线（设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板）。
解：做底面平行带电平板、侧面垂直于带电平板的圆柱状高斯面，高斯面的中心位于带电平板的中央平面上。
设圆柱状高斯面的高度为2x ，根据高斯定理，有：
0022222ερερxS ES d x dS ES d x =<=
>
时，时，，得
⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=2/2/2/-d/2x )d/(2x/)d/(2-000d x d x d E ερερερ
5-6．一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为?=Ar (r ≤R )，?=0(r >R )，A 为常量。
试求球内、外的场强分布。
[解]在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有0
2
4επq
r
E =
⋅
q 为高斯球面内所包围的电量。
设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d q r ≤R 时403
d 4Ar r Ar
q r
ππ==
⎰
习题5-2图
A
B
C
解得02
4εAr E =(r ≤R )(或2
4Ar ε=
r E e ) r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量Q
应用高斯定理0
2
4επQ
r
E =
⋅
2044r AR E ε=(r >R )(或r E 2
04
4r
AR ε=) 当A >0时，电场强度方向均径向向外；当A <0时，电场强度方向均指向球心。
5-7.如习题5-7图所示，一半径为R 的无限长圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度
上的带电量为
?，试求圆柱面内外的电场分布。
解：由条件知电场分布具有轴对称性，做半径为r 的同轴圆柱高斯面，由高斯定理，
020
2ελl πrl ,E R r πrl ,E R r =⋅>=⋅<时时，得⎪⎩⎪
⎨⎧><=R r r
R r E ,2,
00πελ
5-8．如习题5-8图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E 0，两平面外侧电场强度大小都是E 0/3，方向如图。
求两平面
A 、
B 上的面电荷密度?A 和?B 。
[解]无限大平面产生的电场强度为0
2εσ
=
E
则0A A
2εσ=
E 0
B
B 2εσ
=E 解得00A
32E εσ-=00B 3
4
E εσ=
5-9．如习题5-9图所示为一真空中半径为R 的均匀带电球面，
总电量为q (q <0)。
今在球面上挖去非常小的一块面积△S （连同电荷），
且假设不影响原来的电荷分布，求挖去△S 后球心处电场强度的大小和方向。
解：原来球心处电场强度为零，挖去△S 后球心处电场强度等于△S 处电荷产生的电场强度的负值，即等于
4
022*******
R S q R S q R επππε∆=
∆，方向由△S
指向球心。
5-10．习题5-10图为两个半径均为R 的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别
为+Q 和-Q ，两球心距离为d (d>>2R )，求两球心间的电势差。
[解]设带正电的球壳中心的电势为1U ，带负电的为2U 。
根据电势叠加原理有 两球心间的电势差
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-
=
-=d R Q d
Q R
Q U U U 112220002112πεπεπε
5-11.如习题5-11图所示为一均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为R 1，球
壳外表面半径为R 2。
设无穷远处电势为零，求空腔内任一点的电势。
习题5-8图
000
习题5-7图
习题5-9图
习题5-10图
解：利用电势叠加法，将球壳分成无穷多个半径为r ，厚度为d r 的薄球壳，有
5-12．电量q 均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点P 的电势(以无穷远为电势零点)。
[解]取如图所示的电荷元d q ，x l
q
q d 2d =
，它在P 点产生的电势为 则整个带电直线在P 点产生的电势为
5-13．如习题5-13图所示，把一块原来不带电的金属板B 移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。
设两板面积都是S ，板间距为d ，S d <<，忽略边缘效应，
求B 板两个表面的感应电荷面密度和A 、B 两板间的电势差。
[解](1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号
相同，因此当板B 不接地，电荷分布为
B 板靠近A 一侧S 2Q
-
=σ，远离A 一侧S
2Q =
σ 因而板间电场强度为S
Q E
02ε=
电势差为S
Qd
Ed U 0AB
2ε=
= 5-14．如习题5-14图所示，一厚度为d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面
带电量之和为?。
试求离左表面的距离为a 的点与离右表面的距离为b 的点之间的电势差。
[解]导体板内场强0=内
E ，由高斯定理可得板外场强为
故A 、B 两点间电势差为
为λ+和λ-，两
5-15．半径都是R 的两根无限长均匀带电直导线，其电荷线密度分别直导线平行放置，相距为d (d >>R )。
试求该导体组单位长度的电容。
[解]由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为
两导线间的电势差为 该导体组单位长度的电容R
d R
R
d U
ln ln
C 0
πεπελ
=
-=∆=
5-16．一电容为C 的空气平行板电容器，接端电压为U 的电源充电后随即断开。
试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所做的功。
[解]断开电源后Q 不变，电容由原来的d
S
C
0ε=
，变为nd
S
C 0ε=
'
外力所做的功即相当于系统静电能的改变量 由于Q 不变，C n C '=，所以nU U ='
因此222
1
U n C W '=
' 即外力做功()12
12
-=n CU A
习题5-13图
B
A
d +Q
P x
dq dx O x
B A -Q/2
Q/2
Q/2Q/2
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ a
b
d
?。