的电势为：
q
q
ε ε U = 4π
or
=
4π
o(x 2+R 2)1 2
求：轴线上任一点的场强。
解：
E = Ex =
U x
εq
= 4π
o
[ (x
x 2+R 2)3
]
2
例2 已知一点电荷的电势为：
q
U = 4πε o r
求：任一点的场强。
解：
E = Er =
U r
= q(
4πε o
1 r2
)=
q
4πε or
各电荷元在 p 点的场强方向一致 场强大小直接相加
E dE
l
o
a
dE x
p
x
r
l
dx
dx
E
dE
0
4
0 l
a
x 2
( 1 1 )
4 0 l a l l a 0
l
4 0a(l a)
(方向向右)
[ 例４ ] 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x
处的电场。已知：q 、a 、x。 d q
（1）
左： e
r
s
< E
dRs
（E为常量）
E ds cos0
s
高斯面
（E均沿径向）
E
E ds E4r2
右： =0 （面内无电荷）
+ +
+R
+
+
r
+ +q
+
依高斯定理： E4r2 0
+ +
+ +
得：
E =0
+++ +
（2）r > R
e
s
E
ds
E 4r 2
q
0
E
q
4 0r 2
E
++ + + E
y
E B
eE r
q
r
y
r0
e
q
x
y E
1
4π 0
q r3
(y
j
r0 2
i)
E
E E
e e E E
1
4π E
q 0 r3
4
(y
j
r0
i)
2 1 qr0 i
π 0 r3
1
x 4π 0
qr0 i ( y2 r02 )3/ 2
y r0
4 E
1
4π 0
qr0 y3
i
B
Er r
电势 V 的空间变化率(partial derivative of V).
（2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向.
直角坐标系中
讨 论
Ex =
U x
Ey
=
U y
Ez =
U z
E 为求电场强度 提供了一种新的途径
求 E 的三种方法
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系
例1、 已知均匀带电圆环轴线上任一点
Solution: dB方向均沿 x 轴的负方向
z
D 2
dz r
Iz
x
C
o
1
r0
解 dB 0 Idz sin
4π r 2
dB
B
dB 0
4π
Idz sin
CD r 2
z r0 cot , r r0 / sin
*P y
dz r0d / sin2
B 0I 2 sind 4π r0 1
5. 选择积分变量
选θ作为积分变量
tga l l=atga a
atg( )
2
=- a ctgθ
dE y
θ
0
θ1
a
a
r
l
dl= acsc 2θdθ
r 2 = a 2+ l 2 = a 2+ a 2 ctg2θ = a 2 csc θ2
x
aθ θ2
dl
d l = a cscθ2 dθ
r 2 = a 2 csc θ2
再对电势的某一方向微分，可求出场强在 该方向分量。
4. 注重典型场 注重叠加原理
场强的叠加 电势的叠加
点电荷 均匀带电球面 无限长的带电线 (柱) 无限大的带电面 (板)
Application of Biot -Savart law 用Biot -Savart law求 解磁场
难点：三维，矢量。判断方向，选取适当坐标 系，把矢量投影，算分量，再叠加
40r 2
r
E R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
ρR ρR
3ε εO r
ε3 O
O
R
r
4.无限大均匀带电平面的电场 Infinite plane of charge
. . . . E dS = E dS + E dS + E dS
s
s侧
s 左底
s
右底
=E S+ E S
s 0
E
S E
+
+
+R
r
+
+
+
+
+ + + +q
1
高斯面
r2
r
0
R
ρ 3. 均匀带电球体的电场Solid sphere of charge。
（1）r
e
E
s
<R
ds
E
ds
s
E 4r 2ε
O
ε
r
r
E R
4 3 r 3
E r 3
（2）r > R
e
E
ds
E
s
ds E4r2
s
4 3 R3 0
E
q
１ Long uniform line of charge 线密度
对称性的分析
取合适的高斯面（同轴圆柱面）
计算电通量
E
ds
E
ds
E
ds
S
侧面
E2rl
两底面
cos90 0
r
P
dE
E
计算面内电量
q l
（俯视）
利用高斯定理解出 E
E2rl l
E
ds r
l
Eds
0
2 0r
２. 均匀带电球面的电场Spherical conductor)
r dB dBxi dBy j dBzk
Bx dBx , By dBy , Bz dBz
r B Bxi By j Bzk
Example1 Magnetic Field Surrounding a Thin, Straight Current
例1 载流长直导线的磁场.
考虑一又细又直的导线，恒定电流为I,沿z轴放置 ，如图所示。确定其在P的磁场大小和方向。
E
=
σ
2ε
O
σ
x
E
2 0
E
O
( 0)
E
EE
E
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
0
0
0
0
总结
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
用此公式的前提条件为有限大带电体且选
无限远处为电势零点.）
right-hand rule
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I XB
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场 Magnetic Field on the
Axis of a Circular Current Loop
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
2
真空中静电 场小结 1. 两个物理量 E U
2. 两个基本规律
E
ds
i
qi内
S
0
LE dl 0
3. 两种计算思路 1）积分法
E dE
(Q)
U dU
(Q)
2） 高斯定理
E
ds
i
qi内
S
0
3）利用 场强与电势关系
E gradU
电势定义
U 0
UP E dl
(P)
先作电势的标量叠加，
例 1 计算电偶极子（two point charges)的电场强
度
电偶极子的轴 r0
电偶极矩（电矩）
p
qr0
q
p q
r0
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
q O q
r0 2 r0 2
x E
A
E
x
q O q
x r0 2 r0 2
E
A
E
x
E
1
4π 0
q (x r0
i 2)2
1
r ar r
ε ε ε q
U b =4π
1
o3r
+
q 2
4π or
=
1
4π or
(
q
1
3
+
q 2
)