例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。

如图3-4所示。

求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。

解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的坐标为，则由图中看出有则有所以有;例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。

A离地高度保持为h，h =1.5m。

运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求：(1) 重物B上升的运动方程；(2) 重物B在时刻的速率和加速度；(3) 重物B到达C处所需的时间。

解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为因绳长为由上式可得重物的运动方程为(SI)(2)重物B的速度和加速度为(3)由知当时，。

此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。

例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。

(1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；(2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。

解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为，轨道曲线为一抛物线如右图所示。

(2) 由可得: 在t1=1s 时，在t2=2s 时,例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。

解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。

由题意可知，加速度和时间的关系为:根据直线运动加速度的定义因为t = 0 时，v0=0，故根据直线运动速度的定义有因为t = 0 时，x0=0 ，则位移为例5 (1) 对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r, 并由此导出速度v 和加速度a的矢量表达式。

(2) 试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。

解:(1)由右图可知式中，，，且根据题意是常数，所以，有又因所以(2)由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。

6一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R = 2.2cm，外半径为R = 5.6cm, 如右图所示，径向音轨密度N = 650条/mm。

在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以的恒定速度运动的。

这张光盘的全部放音时间是多少？激光束到达离盘心r = 5.0cm 处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？解: (1) 以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢，则在d r宽度内的音轨长度为2πrN d r。

激光束划过这样长的音轨所用的时间为d t =2πrN d r/v。

由此得光盘的全部放音时间为(2) 所求角速度为所求角加速度为例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。

如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。

解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和m v组成的平面垂直）。

角动量的大小为例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力匀圆盘。

已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为k各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。

解：对m1，由牛顿第二定律对m2，由牛顿第二定律对滑轮，用转动定律又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑联立解以上诸方程，可得例7如图5-8所示。

两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。

二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。

今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。

求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。

解：如图示，由牛顿第二定律对m1：对m2：对整个轮，由转动定律又由运动学关系联立解以上诸式，即可得例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2 分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。

设R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且开始时m1、m2离地均为h = 2m，求：（1）柱体转动时的角加速度；（2）两侧细绳的张力；（3）m1经多长时间着地？（4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？解： 设a 1、a 2分别为m 1、m 2的加速度，β为柱体角加速度，方向如图5-9(b)所示。

（1）m 1、m 2的平动方程和柱体的转动方程如下：)3()2()1(211112221βJ r T R T a m T gm a m g m T ='-'=-=-式中： ; ; ; ；联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为代入数据后得（2） 由(1)式得由(2)式得（3）设m 1着地时间为t ，则（4）m 1 着地后静止，这一侧绳子松开。

柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m 2减速上升。

讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。

例9 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。

（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为所以二人的加速度相同，二人的速度为因初速度v0 = 0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。

以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) > 0，故系统的动量不守恒。

以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。

显然人在上升中机械能在样加。

但甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。

（2）设甲的速度、乙的速度为，从解（1）知二人的速度相等，即，这个结果也可用角动量守恒得到，因故设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理所以则讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。

例12一质量为M，半径为R，并以角速度 旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。

假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图5-11所示。

求余下圆盘的角速度、角动量。

解：破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒得余下圆盘角速度不变。

余下圆盘的角动量例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。

由于地球自转，楼顶和楼根对地心参考系都有线速度。

（1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为，其中为地球自转角速度。

（2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根东侧约处。

这就是落体偏东现象。

计算h = 30m时，着地点偏东的距离。

（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。

实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。

利用这一点，并取楼高对地球半径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果。

）证：（1）楼顶的线速度为楼根的线速度为。

二者之差。

（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度平移，则落体下落时间为而着地时偏东的距离为以代入上式可得例15一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。

管是刚性的，环半径为R。

一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。

由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是否正确，并说明理由。

（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。

（b）小球的动量不守恒。

（c）小球对OO′轴的角动量守恒。

辨析（a）不正确。

对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。

在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。

系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。

（b）正确。

小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。

（c）不正确。

小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。

例如小球在位置A 对OO′轴的角动量为零，在B处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再是零，到达最低点C时，对OO′轴的角动量又等于零。

例1一条均匀链条，质量为m，总长为l，成直线状放在桌面上，如图6-8所示，设桌面与链条之间的摩擦系数系数为。

现已知链条下垂长度为a时链条开始下滑，试计算链条刚好全部离开桌面时的速率。

解：运用动能定理计算此题，链条下落过程有重力、摩擦力做功，根据动能定理当链条下垂y再继续下垂时，重力功为全过程重力的功桌面摩擦力在链条下滑时做的功为代入动能定理解出例2在质量m、半径R的圆盘形定滑轮上跨一轻绳，在绳一端施一恒力，另一端系一质量m，边长为L的立方体，开始时立方体上端面正好与密度为的液面重合，并在绳子拉动下由静止开始上升，如图6-9。

求：(1) 当立方体一半露出液面时，滑轮与立方体间绳张力；(2) 立方体刚离开液面时的速度。

解：(1) 立方体与滑轮受力分别如图6-10、图6-11所示。

当立方体露出一半时浮力对立方体，由牛顿第二定律对滑轮，由转动定律又由角量与线量关系解得(2) 取立方体、滑轮、绳、地球为系统做功的外力有，无非保守内力做功设立方体刚离开液面时速度为v，此时滑轮角速度为，有由功能原理解得：例3在光滑水平桌面上放着一静止的木块，其质量为M，质量为m的子弹以水平速度打击木块。