高中数学第二讲证明不等式的基本方法复习课练习（含解析）新人教A 版选修45[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．比较法的一个易错点．忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．2．分析法和综合法的易错点．对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．3．反证法与放缩法的注意点．(1)反证法中对结论否定不全．(2)应用放缩法时放缩不恰当．专题一 比较法证明不等式比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断—结论，关键是变形，变形的目的是判号(与1的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等．[例❶] 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．证明：因为b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＋a b y 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b y 2＋b c z 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x －a b y 2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b y －b c z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z －c a x 2≥0， 所以b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 归纳升华作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[变式训练] 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b .证明：法一 因为a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， 所以a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b .法二 a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1，对于a 的二次三项式， Δ＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0，所以a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1≥0，故a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b .专题二 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误．[例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 归纳升华综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证的结论)，它的常见书面表达式是“因为……所以……”或“⇒”．[变式训练] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，所以1ab≥4. 所以1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋4＝8， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 专题三 用分析法证明不等式分析法证明不等式的思维方法是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效．[例3] 已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a .证明：要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2.因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )＜3a 2，只需证2a 2－ab －b 2＞0，只需证(a －b )(2a ＋b )＞0，只需证(a －b )(a －c )＞0.因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，a －c ＞0，所以(a －b )(a －c )＞0显然成立，故原不等式成立．归纳升华1．分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[变式训练] 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10.求证：log a c ＋log b c ≥4lg c .证明：由于a >1，b >1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lg c lg a ＋lg c lg b≥4lg c ．又c >1，故lg c >0， 所以只要证1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg b lg a lg b≥4， 因为ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1，只要证明1lg a lg b≥4.(*) 由a >1，b >1，故lg a >0，lg b >0，所以0<lg a lg b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14， 即(*)式成立，所以原不等式log a c ＋log b c ≥4lg c 得证．专题四 用反证法证明不等式反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题．[例4] 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1.证明：假设三数能同时大于1，即(2－a )b ＞1，(2－b )c ＞1，(2－c )a ＞1，那么（2－a ）＋b 2≥（2－a ）b ＞1， 同理（2－b ）＋c 2＞1，（2－c ）＋a 2＞1， 三式相加（2－a ＋b ）＋（2－b ＋c ）＋（2－c ＋a ）2＞3， 即3＞3.上式显然是错误的，所以该假设不成立．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时都大于1.归纳升华反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：(1)分清命题的条件和结论，假设出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)；(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾；(3)断定产生矛盾的原因在于开始所做的假设不正确，于是原命题成立，从而间接证明了原命题为真命题．[变式训练] 已知：在如图所示的△ABC 中，∠BAC ＞90°，D 是BC 的中点．求证：AD ＜12BC . 证明：假设AD ≥12BC . (1)若AD ＝12BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，即∠BAC ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC . (2)若AD ＞12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ， 所以在△ABD 中，AD ＞BD ，从而∠B ＞∠BAD .同理∠C ＞∠CAD .所以∠B ＋∠C ＞∠BAD ＋∠CAD ，即∠B ＋∠C ＞∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ，所以180°－∠BAC ＞∠BAC ，则∠BAC ＜90°，与已知矛盾．由(1)(2)知AD ＜12BC . 专题五 用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，有时需要拆项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性达到证明的目的．某些不等式可构造出函数，利用函数的单调性放缩证明．运用放缩法证明的关键是放缩要适当．[例5] 已知a ，b ，c 为三角形的三条边，求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞ c 1＋c. 证明：设f (x )＝x1＋x ，x ∈(0，＋∞)，0＜x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．因为a ，b ，c 为三角形的三条边， 于是a ＋b ＞c ，则a ＋b 1＋a ＋b ＞c 1＋c. 又a 1＋a ＋b 1＋b ＞a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b ＝a ＋b 1＋a ＋b ， 故a 1＋a ＋b 1＋b ＞c1＋c . 归纳升华用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．同时，放缩有时需便于求和．[变式训练] 求证：32－1n ＋1<1＋122＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *且n ≥2)． 证明：因为k (k ＋1)>k 2>k (k －1)， 所以1k （k ＋1）<1k 2<1k （k －1）， 即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k(k ∈N *且k ≥2)． 分别令k ＝2，3，…，n 得12－13<122<1－12， 13－14<132<12－13， …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n， 将这些不等式相加得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n， 所以1＋12－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋1－1n， 即32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ∈N *且n ≥2)成立．。