1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
1 ,再结合 1
进行裂项 ,最后就可以
n2 n
2n 1
n2
(4)首先 1 2( n 1 n)
2 ,所以容易经过裂项得到
n
n1 n
11
1
2( n 1 1) 1
23
n
再证 1 n
2( 2n 1 2n 1)
22 2n 1 2n 1
而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
49
11 1
1
n2
23 3 4
1
11
n
n(n 1)
n1 n1
当 n 3时, n
6n ,当 n 1时, 6n
11 1
1, 2
n 1 ( n 1)( 2n 1)
( n 1)( 2n 1)
49
n
当 n 2 时, 6n
11 1
(n 1)(2n 1)
49
1 ,所以综上有
n2
6n
11
1
( n 1)( 2n 1)
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1
7
1
( 2n 1) 2
6
(n 2) 2( 2n 1)
(2)求证 : 1 1 1
4 16 36
1 11 4n2 2 4n
(3)求证 : 1 1 3 1 3 5
2 24 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1
23
1 2 ( 2n 1 1)
2 4n2 1 2n 1 2n 1
k2
k1
11 12
35
1
1
2n 1 2n 1
25 1
33
常用放缩技巧 (1) 1 4
n2 4n2
4
1
1
4n2
1
2 2n
1
2n
1
(2) 1
2
1
1
C1n
C2
1n
(n 1) n(n 1)
n(n 1) n(n 1)
(3)Tr 1
C
r n
1 nr
n! 1 r! (n r )! n r
49
15 n2 3
例 4.(20XX 年全国一卷 ) 设函数 f (x ) x x ln x .数列 an 满足 0 a1 .1 an 1 f (an ).设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证
a1 ln b
明:ak 1 b .
解析 :由数学归纳法可以证明 an 是递增数列 ,故存在正整数 m k ,使 am b ,则
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2012 高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法（构造法） 总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导
数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决。 证明数列型不等式， 因其思维跨度大、 构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，
能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极
n1 2
2n
2n 1
1
1
(2n 1)(2n 2)
(2n 1)(2n 1 1)
2n 1
1
2n
(n 1
2)
(12) 1
n3
1 n n2
1 n (n 1)( n 1)
1 n(n 1)
1 n(n 1)
1 n1 n1
1 n1
1 n1
n 1 n1 2n
1 n1
1 n1
(13) 2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n
好素材。 这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征， 其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须 掌握，所以要先看这些方法。其他的方法，如果有精力的话可以了解一下。如果真的掌握不了也足 以应付高考。
a k 1 ak b ,否则若 a m b(m k) ,则由 0 a1 am b 1知
, ,因为 , k
a m ln a m a1 ln am a1 ln b 0 a k 1 ak ak ln a k a1
am ln a m
k
a m ln a m k (a1 ln b)
m1
m1
学习好资料 于是 ak 1 a1 k | a1ln b | a1 (b a1 ) b
(9) 1
k(n 1 k)
1
11
1
11
1
,
n 1 k k n 1 n( n 1 k ) k 1 n n 1 k
(10) n 1 1
(n 1) ! n ! (n 1) !
(11) 2n
2n
(2n 1) 2 (2n 1)(2 n 1)
(11) 1 n
2( 2n 1 2n 1)
22 2n 1 2n 1
2
n1 2
抓住
一、 裂项放缩
n
例 1.(1)求
2 的值 ;
k 1 4k 2 1
(2)求证 : n 1 5 .
2
k 1k
3
解析 :(1)因为 2
2
1
1 ,所以 n 2
4n2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
k 1 4k 2 1
1 1
2n 1
2n 2n 1
(2)因为 1
n2
1 21 n
4
4
1
1 ,所以 n 1
1
1
11
(r 2)
r ! r (r 1) r 1 r
(4) (1 1 ) n 1 1 1
1
n
21 3 2
1
5
n(n 1) 2
(5) 1
11
2n (2 n 1) 2 n 1 2 n
(6) 1
n2
n2 n
(7) 2( n 1
1
n)
2( n
n
n 1)
(8) 2
1
1
1
1
2n 1 2n 3 2n (2n 1) 2n 1 (2n 3) 2 n
2
1 n
2
1 n
2
11 1
23
1 2( 2n 1 1)
n
例 3.求证 : 6n
11 1
( n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
解析 :一方面 :因为 1
n2
1 n2 1
4
4
1
1 ,所以
2
4n2 1
2n 1 2n 1n 1 1 21 1源自k2k1351
1
12 5
2n 1 2n 1
33
另一方面 : 1 1 1
2n 1 2n 3
1
2n
2n 1 3
(14)
k2
1
1
k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) !
(15) 1
n( n 1)
n n 1(n 2)
(15)
i2 1
j2 1
2
2
ij
ij
(i j )( i 2 1 j 2 1)
ij
1
i2 1
j2 1
例 2.(1)求证 :1
1 32
1 52
n
解析 :(1)因为 ,所以 1
1
11
1
(2n 1)2 ( 2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1
n
1
11 1
11 1
i 1 ( 2i 1) 2
1(
)1 (
2 3 2n 1
23
) 2n 1
(2) 1 1 1
4 16 36
11 1
4n 2
(1 4
22
11
1
n2 )
(1 1 4
) n
(3)先运用分式放缩法证明出 得到答案
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例 5.已知 n, m N , x 1, Sm 1m 2m 3m
n m,求证 : nm 1 (m 1)Sn . (n 1)m 1 1
解析 :首先可以证明 : (1 x) n 1 nx