y1
x ex (cos
1 2
(
y1
x
y2 )
i sin x)
ex cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex
sin
x,
(4) 的通解为
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特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C 2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex (C1 cos x C2 sin x)
通解 C1e x (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例4
解 特征方程 r 1 0, 特征根 r 1,
通解 y C1e x .
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四、小结
用代数法求常系数齐次线性微分方程通 解的一般步骤: （1）写出特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的情况写出相应的特解； （4）这些特解的线性组合即为所求通解.
例1 解 特征方程为 解得
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
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特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C 2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex (C1 cos x C2 sin x)
一、特征方程
n阶常系数线性微分方程的标准形式 n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式
(2)的特征方程
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二、二阶常系数齐次线性方程的代数解法
1. 有两个相异实（特征）根
p r1
p2 2
4q
,
r2
p
p2 4q , 2
两个特解 y1 e r1x , y2 e r2x ,（线性无关）
(4) 的通解为
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❖ 习题12-8 1-(5)(9)
作业
2-(6)
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0, 即 u 0,
则 y2 xer1x ,
(4) 的通解为
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3. 有一对共轭复（特征）根
r1 i , r2 i , 一对复值解
y1 e( i )x ex (cos x i sin x)
y2 e(
其线性组合
i )
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2. 有两个相等的实（特征）根
r1
r2
p 2
,得Βιβλιοθήκη 解y1 e r1x ,求另一特解 y2( x), y2( x) 与 y1( x) 线性无关 ,
即 y2( x) / y1( x) u( x) 常数 . 求u( x)：
y2 ( x) u( x) y1( x) u( x)er1x 为（4）的解
根 i ex sin x, xex sin x, , xk1ex sin x
注 1、n次代数方程恰有n个根。 2、属于不同特征根的解线性无关。
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例3
解 特征方程 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
即 (r 1)(r 2 1)2 0,
特征根 r1 1, r2 r3 i , r4 r5 i ,
例2 解 特征方程为 解得
故所求通解为 y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
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三、n阶常系数齐次线性方程的代数解法
特征方程
特征根
对应的特解
k重 实 根r
erx , xerx , , xk1erx
k重共轭复ex cos x, xex cos x, , xk1ex cos x