第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.sin 2π12-cos 2π12的值为( )A .-12 B.12 C .-32 D.32[答案] C[解析] 原式=-(cos 2π12-sin 2π12)=-cos π6=-32.2.函数f (x )=sin2x -cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B .π C .2π D .4π[答案] B[解析] f (x )=sin2x -cos2x =2sin(2x -π4),故T =2π2=π. 3.已知cos θ=13,θ∈(0,π),则cos(3π2+2θ)=( ) A .-429 B .-79 C.429D.79[答案] C[解析] cos(3π2+2θ)=sin2θ=2sin θcos θ=2×223×13=429. 4.若tan α=3,tan β=43,则tan(α-β)等于( ) A .-3 B .-13 C .3 D.13[答案] D[解析] tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=3-431+3×43=13. 5.cos 275°+cos 215°+cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D .1+23[答案] A[解析] 原式=sin 215°+cos 215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=54.6.y =cos 2x -sin 2x +2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B .- 2 C .2 D .-2[答案] B[解析] y =cos2x +sin2x =2sin(2x +π4),∴y max =- 2. 7.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( )A .-1B .-15 C.57 D.17[答案] D[解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan (β-α)-tan α1+tan (β-α)tan α=3-21+6=17.8.已知点P (cos α,sin α),Q (cos β,sin β),则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B .2 C .4 D.22[答案] B[解析] PQ →=(cos β-cos α,sin β-sin α),则|PQ →|=(cos β-cos α)2+(sin β-sin α)2=2-2cos (α-β),故|PQ →|的最大值为2.9.函数y =cos2x +sin2xcos2x -sin2x 的最小正周期为( )A .2πB .π C.π2 D.π4[答案] C[解析] y =1+tan2x 1-tan2x=tan(2x +π4),∴T =π2.10.若函数f (x )=sin 2x -12(x ∈R ),则f (x )是( )A .最小正周期为π2的奇函数 B .最小正周期为π的奇函数 C .最小正周期为2π的偶函数 D .最小正周期为π的偶函数 [答案] D[解析] f (x )=sin 2x -12=-12(1-2sin 2x )=-12cos2x ,∴f (x )的周期为π的偶函数.11.y =sin(2x -π3)-sin2x 的一个单调递增区间是( ) A .[-π6,π3] B .[π12,712π] C .[512π,1312π] D .[π3,5π6][答案] B[解析] y =sin(2x -π3)-sin2x =sin2x cos π3-cos2x sin π3-sin2x =-(sin2x cos π3+cos2x sin π3)=-sin(2x +π3),其增区间是函数y =sin(2x +π3)的减区间,即2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2,∴k π+π12≤x ≤k π+7π12,当k =0时,x ∈[π12,7π12].12.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则log 5(tan αtan β)2等于( )A .2B .3C .4D .5[答案] C [解析]由sin(α+β)=12,sin(α-β)=13得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β+cos αsin β=12sin αcos β-cos αsin β=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β=512cos αsin β=112,∴tan αtan β=5, ∴log 5(tan αtan β)2=log552=4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.(1+tan17°)(1+tan28°)=________. [答案] 2[解析] 原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°,又tan(17°+28°)=tan17°+tan28°1-tan17°·tan28°=tan45°=1,∴tan17°+tan28°=1-tan17°·tan28°,代入原式可得结果为2.14.(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12的值为______. [答案]17250[解析] ∵α为锐角,∴π6<α+π6<2π3,∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35;∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=2425,cos(2α+π3)=cos(α+π6)2-sin 2(α+π6)=725∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3-π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3cos π4-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3sin π4=17250.15.已知cos2α=13,则sin 4α+cos 4α=________. [答案] 59[解析] cos2α=2cos 2α-1=13得cos 2α=23,由cos2α=1-2sin 2α=13得sin 2α=13(或据sin 2α+cos 2α=1得sin 2α=13),代入计算可得.16.设向量a =(32,sin θ),b =(cos θ,13),其中θ∈(0,π2),若a∥b ,则θ=________.[答案] π4[解析] 若a ∥b ,则sin θcos θ=12,即2sin θcos θ=1,∴sin2θ=1,又θ∈(0,π2),∴θ=π4.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知cos α-sin α=352,且π<α<32π,求sin2α+2sin 2α1-tan α的值.[解析] 因为cos α-sin α=325,所以1-2sin αcos α=1825,所以2sin αcos α=725.又α∈(π,3π2),故sin α+cos α=-1+2sin αcos α=-425, 所以sin2α+2sin 2α1-tan α=(2sin αcos α+2sin 2α)cos αcos α-sin α=2sin αcos α(cos α+sin α)cos α-sin α=725×(-425)325=-2875.18.(本题满分12分)设x ∈[0,π3],求函数y =cos(2x -π3)+2sin(x -π6)的最值.[解析] y =cos(2x -π3)+2sin(x -π6) =cos2(x -π6)+2sin(x -π6)=1-2sin 2(x -π6)+2sin(x -π6)=-2[sin(x -π6)-12]2+32. ∵x ∈[0,π3],∴x -π6∈[-π6,π6].∴sin(x -π6)∈[-12,12], ∴y max =32,y min =-12.19.(本题满分12分)已知tan 2θ=2tan 2α+1,求证:cos2θ+sin 2α=0.[证明] cos2θ+sin 2α=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ+sin 2α=1-tan 2θ1+tan 2θ+sin 2α=-2tan 2α1+2tan 2α+1+sin 2α=-tan 2α1+tan 2α+sin 2α=-sin 2αcos 2α+sin 2α+sin 2α=-sin 2α+sin 2α=0.20.(本题满分12分)已知向量a =(cos 3x 2,sin 3x 2),b =(cos x2,-sin x2),c =(3-1),其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时,求x 值的集合; (2)求|a -c |的最大值.[解析] (1)由a ⊥b 得a ·b =0,即cos 3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x2=0,则cos2x =0,得x =k π2+π4(k ∈Z ),∴x 值的集合是{x |x =k π2+π4,k ∈Z }.(2)|a -c |2=(cos 3x 2-3)2+(sin 3x 2+1)2=cos 23x 2-23cos 3x 2+3+sin 23x 2+2sin 3x 2+1=5+2sin 3x 2-23cos 3x 2=5+4sin(3x 2-π3),则|a -c |2的最大值为9.∴|a -c |的最大值为3.21.设函数f (x )=22cos(2x +π4)+sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期;(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ,有g (x +π2)=g (x ),且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,g (x )=12-f (x );求函数g (x )在[-π,0]上的解析式。
[解析] f (x )=22cos(2x +π4)+sin 2x =12cos2x -12sin2x +12(1-cos2x )=12-12sin2x(Ⅰ)函数f (x )的最小正周期T =2π2=π (Ⅱ)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,g (x )=12-f (x )=12sin2x 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,(x +π2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2g (x )=g (x +π2)=12sin2(x +π2)=-12sin2x当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-π,-π2时,(x +π)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2 g (x )=g (x +π)=12sin2(x +π)=12sin2x得:函数g (x )在[-π,0]上的解析式为g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12sin2x (-π2≤x ≤0)12sin2x (-π≤x <π2)22.(本题满分12分)已知函数f (x )=(1-tan x )·[1+2sin(2x +π4)],求:(1)函数f (x )的定义域和值域; (2)写出函数f (x )的单调递增区间.[解析] f (x )=(1-sin x cos x )(1+2sin2x cos π4+2cos2x sin π4)=(1-sin x cos x )(2sin x cos x +2cos 2x )=2(cos x -sin x )(cos x +sin x )=2(cos 2x -sin 2x )=2cos2x .(1)函数f (x )的定义域{x |x ≠k π+π2,k ∈Z }. ∵2x ≠2k π+π,k ∈Z ,∴2cos2x ≠-2. ∴函数的值域为(-2,2](2)令2k π-π<2x ≤2k π(k ∈Z )得k π-π2<x ≤k π(k ∈Z ). ∴函数f (x )的单调递增区间是(k π-π2,k π](k ∈Z ).。