115 历届高等数学竞赛真题 一、极限 1、nnnnn!2lim 2、)2cos2cos2(coslim2nnxxx

3、)sinlnarctan(limxxxx 4、5020)sin(limxdtxtxx 5、 1101lim21arctanttttetet



 6、0tan(sin)sin(tan)limtansintxxxx

7、))1()1(1221111(lim22222nnnnnn

8、设10tan(tan)sin(sin)tan(sin)lim0aaxxxbzxx，且0b，求常数,ab 9、设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，求a、b的值，使与)(lim1xfx)(lim1xfx都存在. 10、2lim2nnnna，其中a为常数。

11、200cos2limtan11xtxxetdtxxxx 12、nknknkn12lim

13、设0,0ba，求xxxxbaba1110)(lim

14、nndxxn1)11ln(1lim 15、xeexxx3sin)1()1sin(lim4sin0

16、)1221212(lim21nnnnnnnnn 17、0)1(lim33baxxx，求ba, 18、设)(xf在12x邻域内可导，0)(lim12xfx，998)(lim/12xfx，求 116

3121212)12(])([limxdtduuftxtx

19、设ba0，求ttxdxxabx1100))]1([(lim

20、设函数122,1)2)(1()(4xxxxxbaxxxf在1x处连续，求ba, 21、设nnnxxxxx1221,2,1，求nnxlim 22、xxxx)21(lim1 23、 nnnn1)!(1lim

24、设0)()1(lim3210dxcxbxaxxx，求dcba,,, 25、设01x，nnnxxax11，求nnxlim

26、nnnnnnnln)lnln(lim 27、))ln(11(lim3234234xexxxxxxxxxx 28、已知数列nx，满足1lim()0nnnxx，证明：lim0nnxn 29、已知10x，13014xx，41312xx，„，4131nnxx，„. 求证：（1）数列}{nx收敛；（2）}{nx的极限值a是方程0144xx的唯一正根 二、导数和微分

1、求xxy11的n阶导数 2、11arccos22xxy，求/y

3、)1()1)(1)(1(2842nxxxxy，求1/|xy 117

4、设xyyxarctanln22，当0,1yx时，求dxdy 5、设dttyxxseccsc2arctan，求dxdy

6、设ttuduuyduex02140)1(2，求22,dxyddxdy 7、)(xf和)(xg互为连续的反函数，32)0(,1)0(/gf，求)1(/g 8、设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba上可导，且0)()(bfaf，证明 （1）存在),(ba，使0)()(/ff （2）存在),(ba，使0)()(/ff 9、设函数)(xf在),0[上可导，且21)(0xxxf，证明存在0，使

222/

)1(1)(

f

10、求点（0，4）到抛物线102xy的最短距离 11、设)(xf在],0[上连续，在),0(上可导，证明至少存在一点),0(使得 cot)()(/ff

12、设()fx具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0fff，t是曲线()yfx上点(,())xfx处的切线在x轴的截距，求0()lim()xxfttfx

13、设()fx在1,1内有()0fx，且0()sinlim2xfxxx，证明在1,1内有()3fxx. 118

14、试问：方程22(3)xexx总共有几个实根. 15、)1()(limlimxfxfaxaxxxx，则a 。 16、设函数)(xyy是由0333axyyx（0a）确定，则xyxlim 。 17、设()fx在区间(,)连续，01()() d (>0), ()() d2xaxxaFxfttaGxftta, 试解答下列问题：（1）用()Gx表示()Fx；（2）求()Fx；（3）求证：0lim ()()aFxfx； （4）设()fx在,xaxa内的最大值和最小值分别是Mm、,求证：()()FxfxMm. 18、设为()arctanfxx在[ 0, ]b上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 220lim bb

19、设1tan1xfxarcx，求0nf。 20、已知函数fx在0,1上三阶可导，且01f，10f，00f，试证至少存在一点0,1，使22113!xxfxxf，0,1x

21、已知)x(f在],[20上二次连续可微,01)(f,证明M)x(f3120 其中 [0,2]max()xMfx. 22、求证方程0xcosqpx有且只有一个实数根,其中常数q,p满足10q.

23、设a为实数，10111cos)1(1)(xxxxxfa，在1x处可导，求a的范围 24、设nnmndxxdxf)1()(，nm,是正整数，求)1(f 25、设xxxftan)(1997，求)0()1997(f 119

26、求方程2axex有几个实根 27、设xxxxy，求/y 三、积分

1、230)arcsin(cosdxx 2、)1(28xxdx

3、axaxdx022 （0a） 4、dxxxx212)1sin()11( 5、dxdcxbaxn)()(（1,0,cba）6、dxxxsec 7、dxxxfxaa)1()11(12 8、dxxexxxx)1(cos1sin 9、dxxxx42)3ln()9ln()9ln( 10、0ln(sin)xxdx 11、eeeedxxxx||ln||lnlnln 12、20cos2004xdxxx 13、dxxx66cossin1 14、422|9|dxxx

15、dxxxex103)(2 15、dxxxxcossin)4cos( 16、dxxxxx04sin1|cossin| 17、dxxx022)1)(1(1 18、)(/xf连续，求dxxxfxf)]()([/ 19、设)(xfy，且ydttx02411，证明0433dxdydxyd

20、当ba,满足什么条件时，dxxxbaxx)1()1(222（1）无反正切函数（2）无对数函数 120

21、设)(xf为连续函数，且batdttxfxgcos)()(，求)(/xg 22、求证10326421xxdx 23、设101)(21)(xfdttxf，求)(xf

24、设)(xf为连续函数，证明dxxbafdxxbxaf)sin(2)sincos(202222 25设非负函数()fx在0,1上连续，且单调上升，0,1,()tyfx与直线(1)yf及xt围成图形的面积为1()St，()yfx与直线(0)yf及xt围成图形的面积为

2()St.⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t,使得12()()StSt.⑵ t取何值时两部分面积之

和取最小值？ 26、设函数()fx在0,1连续且非负，证明1001lim()max()nnnxfxdxfx.

27、设D是曲线22yxx与x轴围成的平面图形，直线1yx把D分成1D和2D 两部分，若1D的面积1S与2D的面积2S之比1217SS，求平面图形1D的周长以及1D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积. 28、设1shxshy，计算积分0ydx. 29、以yoz坐标上的平面曲线段()yfz（0zh）绕z轴旋转所构成的旋转曲面和xoy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为316()cm，如果以33(/)cms的速度把

水注入容器内，水表面的面积的2(/)cms增大，试求曲线()yfx的方程.

30、设0,2x时，有2()sec2sin3sin(1)sinnnduxxxxnxdx. 31、设2)1arcsin()(xxf及0)0(f，求10 )(dxxf. 32、求曲线xxey（0x）绕x轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积 33、设函数)(xf在] ,[aa（0a）上连续，在0x可导，且0)0(f.