2010年浙江省高等数学（微积分）竞赛试卷（经管类）
一．计算题
1.
求极限n n →+∞ 解：原极限
=1/4lim[1n e -→+∞=
2.求不定积分2(1sin cos )cos x e x x dx x +⎰ 解：原积分=2sin sin ()tan tan cos cos cos x x x x x e e x e x dx e d x dx e x c x x x
+=+=+⎰⎰⎰ 3.设ABC ∆为锐角（含直角）三角形，求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值
解：记(,)sin()sin sin cos()cos cos ,f B C B C B C B C B C =+++++--
(,)c o s ()c o s s i n ()s i n B f B C B C B B C B '=++-++=
(,)cos()cos sin()sin 0C
f B C B C C B C C '=++-++= cos sin cos sin ,B B C C B C +=+=或2B C π+=
（舍去）. cos(2)cos sin(2)sin 0,,33B B B B B A C B ππ+-+==
===
m a x (,)
(31),m i n (,)1f B C f B C =-=
4.设[]x 为小于等于x 的最大整数，{(,)|13,24}D x y x y =≤≤≤≤，求[]D
x y dxdy +⎰⎰. 解：1111[]334356182222D
x y dxdy +=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎰⎰ 5.设f 连续，满足20()()x x t f x x e f t dt -'=+
⎰，求(0)f '的值. 解：220
()2()2,2,(0)2x x t f x x f e f t dt x f f x f x x f -'''''=++=++-=-+=-⎰ 二.如图，设有一个等边三角形，内部放满n 排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），
记A 为等边三角形的面积，n A 为n 排圆的面积之和，求lim n n A A
→∞ 解：设圆的半径为r ，三角形边长为a ，则有
2
2
2(2)2,,lim 4n n n A n r a r A A A →∞-+=====
三．设()()x f x e P x =，证明：
（1）()f x 必有极值点；（2）()f x 必有奇数个极值点.
证明：()(()())x f x e P x P x ''=+，因为()()P x P x '+是5次多项式，必有零点，设为a. 若是k 重零点，则()()()()k P x P x x a Q x '+=-，()Q x 是5-k 次多项式且()0Q a ≠ 若k 是奇数，当x 经过a 时()f x '改变符号，a 是f 的极值点.
若k 是偶数，()Q x 是5-k 次的，可得()Q x 必有一奇数重零点，f 必有极值点.
（2）()()P x P x '+的奇数重零点只能是奇数个，因此f 的极值点必是奇数个.
四. 证明：22
2210,t x x x e dt e x +∞
--∀><⎰ 证明：2222exp()exp()exp()exp()2222
x x x t t t x x dt x dt t dt +∞
+∞+∞-=-<-<-⎰⎰⎰ 五. 定义数列{}n a 如下：11101,max{,},2,3,4,,2
n n a a a x dx n -===⎰ 求lim n n a →∞ 解：1111100max{,}n n n n a a x dx a dx a ---=≥=⎰⎰，即{}n a 单调增且1112
a =≤，设01n a ≤≤， 则 1111000max{,}1n n a a x dx dx +-≤=
≤=⎰⎰，即{}n a 有界.。