14、试问：方程 总共有几个实根.
15、 ，则 。
16、设函数 是由 （ ）确定，则 。
17、设 在区间 连续， ,
试解答下列问题：（1）用 表示 ；（2）求 ；（3）求证： ；
（4）设 在 内的最大值和最小值分别是 ,求证： .
18、设 为 在 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则
19、设 ，求 。
历届高等数学竞赛真题
一、极限
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7、
8、设 ，且 ，求常数
9、设 ，求 、 的值，使 都存在.
10、 ，其中 为常数。
11、 12、
13、设 ，求
14、 15、
16、 17、 ，求
18、设 在 邻域内可导， ， ，求
19、设 ，求
20、设函数 在 处连续，求
21、设 ，求
22、 23、
20、已知函数 在 上三阶可导，且 ， ， ，试证至少存在一点 ，使 ，
21、已知 在 上二次连续可微, ,证明
其中 .
22、求证方程 有且只有一个实数根,其中常数 满足 .
23、设 为实数， ，在 处可导，求 的范围
24、设 ， 是正整数，求
25、设 ，求
26、求方程 有几个实根
27、设 ，求
三、积分
5、设 （ ），则 。
6、设 ， ，证明级数 收敛，并求其和。
7、设 在 处收敛，则 在 处（D）
(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)收敛性与an有关.
8、设幂级数 ,当 时 ，且 ;
（1）求幂级数 的和函数 ；（2）求和函数 的极值..
9、求函数 的定义域，并证明 在定义域内有界.
10、级数 ，问 为何值时级数收敛
8、设函数 在 上连续，在 上可导，且 ，证明
（1）存在 ，使
（2）存在 ，使
9、设函数 在 上可导，且 ，证明存在 ，使
10、求点（0，4）到抛物线 的最短距离
11、设 在 上连续，在 上可导，证明至少存在一点 使得
12、设 具有二阶连续导数，且 ， 是曲线 上点 处的切线在 轴的截距，求
13、设 在 内有 ，且 ，证明在 内有 .
40、设 41、 ，求
42、设函数 满足 ，且对 时，有 ，证明：
（1） 存在，（2） 。
四、级数
1、判别级数的敛散性
（1） ； (2)
（3） ，其中 为常数（4）
2、求和函数
（1） （2） （3）
（4） （5）
3、求收敛域
（1） （2）
4、已知级数 的一般项 与前 项的和 有如下关系：
（ ），且 ，求级数
28、设 ，计算积分 .
29、以 坐标上的平面曲线段 （ ）绕 轴旋转所构成的旋转曲面和 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 ，如果以 的速度把水注入容器内，水表面的面积的 增大，试求曲线 的方程.
30、设 时，有 .
31、设 及 ，求 .
32、求曲线 （ ）绕 轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积
25设非负函数 在 上连续，且单调上升， 与直线 及 围成图形的面积为 ， 与直线 及 围成图形的面积为 .⑴ 证明：存在唯一的 ,使得 .⑵ 取何值时两部分面积之和取最小值？
26、设函数 在 连续且非负，证明 .
27、设 是曲线 与 轴围成的平面图形，直线 把 分成 和 两部分，若 的面积 与 的面积 之比 ，求平面图形 的周长以及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
五、解析几何
1、求两直线 和 之间的最短的距离
2、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，求圆锥面的方程
24、设 ，求
28、已知数列 ，满足 ，证明：
29、已知 ， ， ，…， ，….
求证：（1）数列 收敛；（2） 的极限值a是方程 的唯一正根
二、导数和微分
1、求 的 阶导数2、 ，求
3、 ，求
4、设 ，当 时，求
5、设 ，求
6、设 ，求
7、 和 互为连续的反函数， ，求
33、设函数 在 （ ）上连续，在 可导，且 .
（1）求证： ， ，等式 成立.
（2）求极限 .
34、设 （ 表示不超过 的最大整数），求极限
35、求 ，使 ，其中
36、设函数 在 上连续，且 ，设
（1） （2） 在 内恰有一根
37、设 的一个原函数，且 ，求 .
38、设 ，求
39、设 在 上连续，且 ，求
1、 2、
3、 （ ）4、
5、 （ ）6、
7、 8、
9、 10、
11、 12、
13、 14、
15、 15、
16、 17、
18、 连续，求
19、设 ，且 ，证明
20、当 满足什么条件时， （1）无反正切函数（2）无对数函数
21、设 为连续函数，且 ，求
22、求证 23、设 ，求
24、设 为连续函数，证明