∴ EF=GO，GF=EO，∠ GOE=90°， ∴ ∠ AOE+∠ AOG=90°． 在正方形 ABCD 中，OA=OB，∠ AOB=90°， ∴ ∠ AOG+∠ BOG=90°， ∴ ∠ AOE=∠ BOG． ∵ OG⊥BF，OE⊥AE， ∴ ∠ AEO=∠ BGO=90°． ∴ △ AOE≌ △ BOG（AAS）， ∴ OE=OG，AE=BG， ∵ AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF， ∴ BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE， ∴ BF﹣AF=2OE．
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）①过点 B 作 BH⊥OE 于 H，可得四边形 BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得
EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，∠ AOB=90°，再根
据同角的余角相等求出∠ AOE=∠ OBH，然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBH 全等，根据
∵ PE=BE， ∴ ∠ EBP=∠ EPB． 又∵ ∠ EPH=∠ EBC=90°， ∴ ∠ EPH-∠ EPB=∠ EBC-∠ EBP． 即∠ PBC=∠ BPH． 又∵ AD∥ BC， ∴ ∠ APB=∠ PBC． ∴ ∠ APB=∠ BPH． （2）证明：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q．
初三数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
一、平行四边形
1．如图 1，正方形 ABCD 的一边 AB 在直尺一边所在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作 OE⊥MN 于点 E．
（1）如图 1，线段 AB 与 OE 之间的数量关系为
．（请直接填结论）
（2）保证点 A 始终在直线 MN 上，正方形 ABCD 绕点 A 旋转 θ（0＜θ＜90°），过点 B 作
BF⊥MN 于点 F．
①如图 2，当点 O、B 两点均在直线 MN 右侧时，试猜想线段 AF、BF 与 OE 之间存在怎样
的数量关系？请说明理由．
②如图 3，当点 O、B 两点 分别在直线 MN 两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成
立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形 ABCD 绕点 A 旋转到如图 4 的位置时，线段 AF、BF 与 OE 之间的数量关系
为
．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析H=AE，OE=BH，再根据 AF-EF=AE，整理即可得证；
②过点 B 作 BH⊥OE 交 OE 的延长线于 H，可得四边形 BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等
可得 EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，∠ AOB=90°，
再根据同角的余角相等求出∠ AOE=∠ OBH，然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBH 全等，
根据全等三角形对应边相等可得 OH=AE，OE=BH，再根据 AF-EF=AE，整理即可得证；
③同②的方法可证．
试题解析：（1）∵ AC，BD 是正方形的对角线，
∴ OA=OC=OB，∠ BAD=∠ ABC=90°，
∵ OE⊥AB，
∴ OE= 1 AB， 2
∴ AB=2OE， （2）①AF+BF=2OE 证明：如图 2，过点 B 作 BH⊥OE 于点 H
∴ ∠ EHB=90° ∵ OE⊥MN，BF⊥MN
∴ ∠ AEO=∠ HEF=∠ BFE=90° ∴ 四边形 HBFE 为矩形 ∴ BF=HE，EF=BH ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ OA=OB，∠ AOB=90° ∴ ∠ AOE+∠ BOH=∠ OBH+∠ BOH ∴ ∠ AOE=∠ OBH ∴ △ AOE≌ △ OBH（AAS） ∴ AE=OH，OE=BH， ∴ AF﹣BF =AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE ③BF﹣AF=2OE， 如图 4，作 OG⊥BF 于 G，则四边形 EFGO 是矩形，
由（1）知∠ APB=∠ BPH， 又∵ ∠ A=∠ BQP=90°，BP=BP， 在△ ABP 和△ QBP 中，
2．如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH．
（1）求证：∠ APB=∠ BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，求证：△ PDH 的周长是定值； （3）当 BE+CF 的长取最小值时，求 AP 的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】 试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠ PBC=∠ BPH，进而利用平行线的性质得出 ∠ APB=∠ PBC 即可得出答案； （2）首先证明△ ABP≌ △ QBP，进而得出△ BCH≌ △ BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB，证明△ EFM≌ △ BPA，设 AP=x，利用折 叠的性质和勾股定理的知识用 x 表示出 BE 和 CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图 1，
∴ ∠ BHE=∠ BHO=90° ∵ OE⊥MN，BF⊥MN ∴ ∠ BFE=∠ OEF=90° ∴ 四边形 EFBH 为矩形 ∴ BF=EH，EF=BH ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ∴ OA=OB，∠ AOB=90° ∴ ∠ AOE+∠ HOB=∠ OBH+∠ HOB=90° ∴ ∠ AOE=∠ OBH ∴ △ AEO≌ △ OHB（AAS） ∴ AE=OH，OE=BH ∴ AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE． ②AF﹣BF=2OE 证明：如图 3，延长 OE，过点 B 作 BH⊥OE 于点 H