浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷 2016.12注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．已知U =R ，集合{}421A x x x =-≥+，则U A =C ___()1,+∞___. 2．三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为___34_____. 3．812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含2x 项的系数是____7_____. 4．已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____323π____. 5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是_____25_____. 6．已知直线l ：0x y b -+=被圆C ：2225x y +=所截得的弦长为6，则b =7．若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =___3___.8．函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为___π____. 9．过双曲线C ：22214x y a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为___8____. 10．若关于x 的不等式1202xx m --<在区间[0,1]内恒成立， 则实数m 的取值范围为___⎪⎭⎫ ⎝⎛223，__.11．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是边,BC CD上的两个动点，且MN =AM AN 的取值范围是[4,8- .12．已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的n *∈N , 都有()f n *∈N 且()()3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=___54____.解答：由题意，((1))3f f =，而*()f n N ∈，若(1)1f =，则((1))(1)1f f f ==，不合题意，舍. 若(1)2f =，则((1))(2)3f f f ==，符合题意.若(1)3f ≥，则((1))(3)f f f ≥，由单调性可知， (3)5f ≥，故((1))5f f ≥，与已知矛盾. 所以，(1)2f =，同理：(2)3f =.则有(3)((2))6f f f ==，(6)((3))9f f f ==，(9)((6))18f f f ==由单调性及*()f n N ∈，可知，(4)7,(5)8,(7)((4))12,(8)((5))15f f f f f f f f ======则应有1(23)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅，*k N ∈下证：当1k =时，(2)3f =，(3)6f =，显然成立。

假设1(23)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅，*k N ∈则1(23)((3))3kkk f f f +⋅==，11(3)((23))23k k k f f f ++=⋅=⋅，由归纳法可知1(23)3k k f -⋅=，(3)23k k f =⋅对*k N ∀∈都成立当11[3,23]k k n --∈⋅时，111(3)()(23)23()3k k k k f f n f f n ---≤≤⋅⇔⋅≤≤而111323233kk k k ----⋅=⋅-，1()3k f n n -=+当1[23,3]k k n -∈⋅时，111(3)3(3)k k k n n f n ---=-+=-11()((3))3(3)33k k k f n f f n n n --⇒=-=-=-综上：1()3,k f n n -=+11[3,23)k k n --∈⋅，*k N ∈33k n -，1[23,3)k k n -∈⋅6723199920173⋅<<<(2017)(1999)3(20171999)54f f ∴-=-=M二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13．将cos 2y x =图像向左平移π6个单位，所得的函数为 ( A ) （A ）πcos(2)3y x =+ （B ）πcos(2)6y x =+（C ）πcos(2)3y x =- （D ）πcos(2)6y x =-14．已知函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，则函数()y f x =-与1()y f x -=-的图像( D )（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称（C ）关于直线0x y +=对称（D ）关于直线0x y -=对称15．设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是 ( C ) （A ）若120a a +>，则230a a +>（B ）若130a a +<，则120a a +<（C ）若120a a <<，则2a > （D ）若10a <，则()()21230a a a a --> 16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是 ( A ) （A ）A B > （B ）A B <（C ）A B = （D ）A 、B 的大小关系不确定三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体ABCD －1111A B C D 中（如图），11==AA AD ，2AB=，点E 是棱AB 的中点．（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑. 试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.ABCDEA 1B 1C 1D 1解：（1）作CE E A //'交CD 于E '， 因为11AD AA DE'===，所以1AE D E ''==故∆E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒…………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则∆ADE 、CBE ∆均为等腰直角三角形， 故90DEC ∠=︒，所以DEC ∆为直角三角形.………………………………………9分由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1CE D E ⊥，所以EC D 1∆ 为直角三角形…………………………………………………………………………13分 而显然∆1DD E 、∆1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形， 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14分18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，（1）若π3B =，7=b ，ABC △的面积S =，求c a +值；（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C .解：（1）3π=B ,23321==∆B sin ac S ABC 6=∴ac …………………………………………………………………………2分由余弦定理得B cos ac b c a 2222=-+………………………………………4分252=+∴)c a (，5=+c a ……………………………………………………7分（2） 22cosC(cos cos )ac B bc A c +=⇒()2cos cos cos C a B b A c +=…………10分又c A b B a =+cos cos ………………………………………………………12分∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈，，∴π3C =………………………………………………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若12F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程. 解：（1）由条件知：22442a c +=+，:2:1a b = 222c b a +=解得：22,2,2a b c ===，…………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+ 1122(,),(,)P x y Q x y ；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+， 所以OP OQ PQ +=，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。

…………9分221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ ⇒()222440t y ty ++-= 12122244,22t y y y y t t --+==++………………………………………11分 ()()2121212121240x x y y t y y t y y +=++++=解得：212,22t t ==±…………………………………………………………13分 所以直线PQ 的方程为2220x y ±-=…………………………………14分20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、()2r q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若11a =，n n c b n =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过 2016M 的最大整数.解：（1）由21241n n a a n n +=+-+，∴()()()22112122n n a n n a n n +++-+=+-，即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列；………………………4分（2）由（1）知()12n n b n N -*=∈，25,,qrb b b 这三项经适当排序后能构成等差数列；①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，∴2121225q r ----+=，∴21212121323524q r q r ----⎧==+=⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，∴()(),3,5q r =错误!未找到引用源。