ï ï 1 1 1 n2 2上海市宝山区 2017—2018 学年高三第一学期期末测试卷数学 2017.12考生注意:1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.2. 本试卷共有 23 道试题, 满分 150 分. 考试时间 20 分钟.一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. 设集合A ={2 ，3 ，4 ，12 }，B = {0 ，1 ，2 ，3 }, 则AI B = .2. l i m n 5n- 5n + 7 = .7n 3. 函数y = 2 cos 2(3px )- 1 的最小正周期为 . 4. 不等式x + 2 > x + 11 的解集为 .5. 若z = - 2 + 3i i, 则I m z = .（其中 i为虚数单位）6. 若从五个数- 1 ，0 ，1 ，2 ，3 中任选一个数m , 则使得函数f (x ) = 调递增的概率为. （结果用最简分数表示）(m 2- 1)x + 1 在R 上单7. 在( 3 + x 2x )n的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为 1024, 则常数项的值等于.8. 半径为 4 的圆内接三角形ABC 的面积是 1 16, 角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ,则a b c 的值为.9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点, 双曲线x - y = 1 的右焦点是C 的焦点F . 若斜率25 144为- 1 , 且过F 的直线与C 交于A ，B 两点, 则 AB = .10. 直角坐标系xOy 内有点P (- 2,- 1), 体的体积为.Q (0,- 2)将D POQ 绕x 轴旋转一周, 则所得几何11. 给出函数 g (x ) = - x 2+ b x , h (x ) = - mx 2 + x - 4 , 这里 b ,m ,x Î R , 若不等式g (x )+ b + 1 £ 0（x Î R）恒成立, h (x )+ 4 为奇函数, 且函数f (x ) = ìïg (x ),x £ í h (x ),x > ît , 恰有两 t 个零点, 则实数t 的取值范围为.12. 若 n （ n ³ 3 , n Î ¥ *） 个不同的点Q (a ,b ) , Q 2(a 2 ,b 2 ) , L , Q n (a n ,b n )满足: a 1 < a 2 < L < a n , 则称点Q 1,Q 2 ,L ,Q n 按横序排列. 设四个实数 k ，x 1 ，x 2 ，x 3 使得í i 2k (x-x )，x 22 成等差数列, 且两函数y = x 2 , y =1+ 3 图象的所有交点P (x ，y ),3132x1 1 1P 2(x 2 ，y 2 ), P 3(x 3 ，y 3)按横序排列, 则实数k 的值为 .二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分. 13. 关于x ，y 的二元一次方程组ìï 3x + 4y =1 的增广矩阵为（ ）ïîx -3y = 10 骣3 4 - 1÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ A. ç ÷B. ç ÷ C. ç ÷ D. ç ÷ç桫1 - 3 10 ÷ ç桫1 - 3 - 10÷ ç桫1 - 3 10÷ ç桫1 3 10 ÷ 14. 设P 1 ，P2 ，P3 ，P4 为空间中的四个不同点, 则“ P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 中有三点在同一条直线 上”是“ P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 在同一个平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 若函数 y = f (x ) = （）f (x - 2) 的图象与函数y = log 3 x + 2 的图象关于直线y = x 对称, 则A. 32x - 2B. 32x - 1C. 32xD.32x + 116. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积. 设: 数列甲:x 1 ，x 2，L ，x 5 为递增数列, 且x Î N *（i = 1 ，2 ，L ，5 ）; 数列乙: y 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，y 5满足 y iÎ {- 1,1} （i = 1 ，2 ，L ，5 ）. 则在甲、乙的所有内积中（）A. 当且仅当x 1 = 同为奇数;B. 当且仅当x 1 = 们同为偶数;1 ，x2 = 2 ，x 2 =3 ，x 3 =4 ，x 3 =5 ，x 4 =6 ，x 4 =7 ，x 5 =8 ，x 5 = 9 时, 存在16 个不同的整数, 它们10 时, 存在16 个不同的整数, 它 C. 不存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数; D. 存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数.三. 解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分.如图, 在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,已知AB = BC = 4 , DD 1 = 8 , M 为棱C 1D 1 的中点.（1） 求四棱锥M - ABCD 的体积;（2） 求直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角的正切值.18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分已知函数f (x ) = 1- 2 sin 2x. 2轾p 3p （1） 求f (x )在 犏， 上的单调递减区间; 臌2 22 - 1 - 1（2） 设D ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边依次为a ，b ，c , 若 ca -b 且f (C ) = 1, 2- 1 1 1求D ABC 面积的最大值, 并指出此时D ABC 为何种类型的三角形.19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 设数列{a}，{b}及函数f (x )（x ÎR n n n n （1） 若等比数列{a }满足a = 1 ，a = 3 , f (x ) = 2x , 求数列{bb}的前n （n Î N *） 项和; n12n n + 1（2） 已知等差数列{a }满足a = 2 ，a = 4 ，f (x ) = l (q x + 1)（l 、q 均为常数, q > 0 , 且 n 1 2 q ¹ 1 ）, c = 3 + n + (b + b + L + b )（n Î N *）. 试求实数对(l ，q ), 使得{c }成等 n 比数列.1 2 n n20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满ï 0分 6 分 . 设椭圆C :x 2 y2+ = a 2 b21 （a > b >）过点(- 2 ，0),且直线x - 5y + 1 = 0 过C 的左焦点. （1） 求C 的方程;（2） 设(x ， 3y )为C 上的任一点, 记动点(x ，y ) 的轨迹为G , G 与x 轴的负半轴, y 轴的正半轴分别交于点G ，H , C 的短轴端点关于直线y =uuur uuur线GH 上运动时, 求P F 1 ×P F 2 的最小值; x 的对称点分别为F 1 ，F 2. 当点P 在直 （3） 如图, 直线l 经过C 的右焦点F , 并交C 于A ，B 两点, 且A , B 在直线x = 4 上的射影依次为D , E . 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标; 否则, 请说明理由.21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满分 8 分. 设z Î C , 且f (z ) =ì锍z ,R e z 0í . ïî-z ,R e z < 0 （1） 已知2f (z ) +f (z )- 4z = - 2+ 9i （z Î C ）, 求z 的值; （2） 设z （ z Î C ）与R e z 均不为零, 且z 2n¹ - 1 （ n Î N *）. 若存在k Î N *, 使得(f(z ))k 0+£ 2 , 求证: f (z ) +£ 2 ;（3） 若z = u （ u Î C ）, z= f (z 2+ z + 1) （ n Î N *）. 是否存在u , 使得数列1n + 1nnz ，z ，L 满足z= z （m 为常数, 且m Î N *）对一切正整数n 均成立?若存在, 试求12n + mn出所有的u ; 若不存在, 请说明理由.1 (f(z ))k 01f (z )5 4 51 1 12018 年宝山区高三一模数学参考答案1 2 3 4 5 6 {2 ，3} - 1 1 (- 1 ，+ 2 2 3 5 7 8 9 10 11 12 [- 2 ，0)405 1 104 4p 113 14 15 16 CACD第一部分、填选 第二部分、简答题17. 解: （1）因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 所以点M 到平面ABCD 的距离就是DD 1 = 8 , 故四棱锥M - ABCD 的体积为V= 1鬃S DD =128. M - ABCD 3 ABCD1 3（2）（如图）联结BC 1 , BM , 因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 且M Î C 1D 1 ,所以MC 1 ^ 平面BCC 1B 1 , 故直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角就是 Ð MBC 1 , 在R t D MBC 1中, 由已知可得MC 1 =1 C 1D 1 = 22 , BC 1 == 4, MC 25 因此, t a n Ð MBC = 1 == , 即直线BM 与平面BCC B 所成角的正切值为 BC 110 5 .10轾p 3p轾p 18. 解:（1）由题意 （2）由已知可得a + b = 4 , Q f (C ) =1 , \2 犏臌2 2 c o s C =1 , 又C Î (0 ，p ), \2 犏臌2C =p. 故3BB 2 + BC 21 1 133 3 nn n + 1q 225 5 臌S= 1a b s i n C =3ab Ｗ3a +b 2= , 当a = b =2 时取等号, 即D ABC 面积 D ABC2()4 4 2的最大值为 , 此时D ABC 是边长为 2 的正三角形.19. 解: （ 1 ） 由已知可得 a n = 3n - 1 （ n Î N *） , 故b = 2 ×3n - 1 （ n Î N *） , 所以b n b n + 1 = 4 ×32n - 1（n Î N * ）, 从而{bb}是以12 为首项, 9 为公比的等比数列, 故数列{b n b n + 1}的前n 项和为3 (9n - 1)（n Î N *）. 2（ 2 ） 依 题 意 得 a n = 2n （ n Î N *） , 所 以 b n = l (q 2n+ 1) （ nÎ N *） , 故 c n =lq 23 + + 1 - q 2(l +1)n -l q 22n 1 - q 2ïì l q 2 ìïl = - 1 * ï 3 + = 0（ n Î N ）, 令 í 1 - q 2 , 解得 ïí （ q = - < 0 舍去）, 因此, 存在 ï l + 1 = 0 îïq = 2 ïî 2 3 , 使得数列{c }成等比数列, 且 3 n （n Î N * ）. (l ，q ) = (- 1 ， ) 2 n c n = 3 ×( ) 420. 解: （1）依题意可得a = 2 , 半焦距c = 1 , 从而b 2= a 2 - c 2= 3 , 因此, 椭圆C 的方x 2y 2程为 + = 1 .4 3（2）因为点 (x ， 3y )在C 上, 所以x 2( 3y )2+= 431 , 故轨迹G :x+ y = 41 . 不妨设 F 1(- ，0), F 2( 3 ，0), P (x ，y ), 则P F 1 =(- - x ，- y ),PF 2 = ( 3 - x ，- y ). 易得直线GH : x - 2y + 2 = 0 , 故 uuur uuur 2 24 2 11 4 2 4P F 1 ×P F 2= x + y - 3 = 5(y - ) - , 所以当y = , 即点 P 的坐标为 (- ， ) 时, 5 5 5 5 5uuur uuur 11P F 1 ×P F 2 取得最小值- . （或这样: 因为点P 在直线GH 上运动, 所以当OP ^ GH 时, 5取得最小值, 故x 2 + y 2 也取得轾0 - 2 ×0 + 2 24 2 4 最小值, 此时(x 2+ y 2)= 犏 = , 易得对应点为垂足P (- ， ) , 从而, mi n犏 5 5 uuur uuurP F 1 ×P F 2 的最小值为 3 3 3 x 2 + y 2 ï( ( ( í í ï ï uuur uuur 4 11(P F 1 ×P F 2 )= - 3 = - . ） mi n5 5（3）易得F (1 ，0), 设l :x = my + 1 （m Î R ）, A (x 1 ，y 1), B (x 2 ，y 2 ), 则D (4 ，y 1),E (4 ，y 2),ìx 2 y 2 ï + = 1 2 2 2 由ïí 4 3 得(3m + 4)y + 6my - 9 = 0 , 显然D = 144(m + 1) > 0 , 且ïx =î my + 1y + y = -6m,yy = - 9. 将x =my + 1 代入直线AE 的方程:123m 2+ 41 23m 2+ 411(x 1 - 4)(y - y 2 ) = (y 1 - y 2)(x - 4) , 并化简可得myy + (y + y )+ 轾2y - (y + y ) x - 5y + (3 - my )y = 0, 将y + y = - 6m ,1 212臌1 1211123m 2 + 4y 1y 2= - 93m 2+ 4代入可得m ×(-9 )-6m+(2y + 6m)x - 5y + (3 - my )y =, 即直线 3m 2 + 4 3m 2 + 413m 2+ 41 1 AE 的方程为2 轾(3m 2 + 臌 4)y 1 + 3m (x - )+ (3m 2 + 24)(3 - my 1)y = 0 , 因为m ，y 1任意, 所 以直线AE 过定点 5 2 ，0) . 同理可得直线BD 也过定点 52，0).综上, 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 相交于定点 52，0).21. 解: （1）设z = a + b i （a ，b Î R ）, 则Re z = a .若 a ³ 0 , 则 f (z ) = z , 由 已 知 条 件 可 得 - a - 3b i = - 2 + 9i , Q a ，b Î R ,\ ìï- a = - 2 , 解得ìïa = 2 , \ z = 2 -3i . ïî- 3b = 9 b = - 3 î若 a < 0 , 则 f (z ) =- z , 由 已 知 条 件 可 得 - 7a - 5b i = - 2 +9i , Q a ，b Î R ,ìï- 7a = - 2 \ í ï ìï 2 ïa = , 解得ïí 7 , 但a < ìï 2 ïa = 0 , 故ïí 7 舍去. ïî- 5b = 9 ïb = - 9 ïî 5 ïb = - 9 ïî 551 z21f (z )nn nn 综上, 得z = 2 - 3i .（2） 证明如下: 令t n =(f (z )) +, 则t n = z n+（n Î N *）.假设 f (z ) +> 2 , 即t 1 > 2 , 因z 2n ¹ - 1 （n Î N *）, 故t > 0 （n Î N *）,于是2t< t ×t= z + 1 ×zn + 1 + 骣 = 珑z n + 1 鼢+骣 1 z n + 2 +n + 11n + 1z珑z鼢 桫z n + 2£ z n++ zn + 2 + 1zn + 2= t n + t n + 2 , 即2t n + 1 < t n + t n + 2（ n Î N *）, 亦即t- t < t- t, 故数列 {t- t } 单调递增. 又t> 2 , 故 n + 1nn + 2n + 1n + 1n1t = z 2 + 骣 = çz +21 ÷- 2³ z +21 - 2= t 2 - 2 > t ,即t > t, 于 是 ,2ç桫 ÷z1121t - t > t - t> L > t - t > 0 . 所以, 对任意的n Î N *, 均有t ³ t >2 , 与题n + 1nnn - 121n1设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即 f (z ) +£ 2 成立. （3） 设存在u Î C 满足题设要求, 令a = Re z ，b = I mz （n Î N *）. 易得对一切n Î N *,nnnnìïa = a 2+ a + 1 - b 2 均有a n ³ 0 , 且ïín + 1 n n n （※）. ïî b n + 1 = (2a n + 1)b n （ｉ）若u Î {- i ，i }, 则{z n}显然为常数数列, 故u = ±i 满足题设要求. （ⅱ）若u Ï {- i ，i }, 则用数学归纳法可证: 对任意n Î N *, (a ，b ) Ï {(0，- 1)，(0 ，1)}. 证明: 当n = 1 时, 由u Ï {- i ，i }, 可知(a 1 ，b 1)Ï {(0 ，- 1)，(0 ，1)}. 假设当n = k 时, (a k ，b k )Ï {(0 ，- 1) ，(0 ，1)}. 那么, 当n = k + 1 时,若 (a ，b ) Î {(0，- 1)，(0 ，1)} , 则 a = 0 , b= 1 . 故 a 2 + a + 1 - b 2= 0 ,k + 1k + 1k + 1k + 1kkk(2a k + 1)b k = 1 . （※※）如果a k = 0 , 那么由(a k ，b k ) Ï {(0 ，- 1)，(0 ，1)}可知 b k¹ 1 , 这与（※※）矛盾.1 (f(z ))n1zn 1 f (z )1zn + 11znn níî2如果a>0,那么由（※※）得b2=a2+ a + 1 > 1 , 即b > 1 , 故 2a + 1 ×b> 1 , k与（※※）矛盾.k k k k k k因此, (ak+ 1，b k+ 1) Ï{(0，-1)，(0，1)}.综上可得,对任意nÎN*,(a，b) Ï{(0，-1)，(0，1)}.记x = 2a2+ b2（n Î N *）, 注意到n n nx - x = (2a2+ b2)- (2a2+ b2) = 2 轾(a2+ a )2 + a2+ 2a + (1 -b2)2³ 0 , 即n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n nìïa n =0犏臌n n n n nxn+1-x n³0 , 当且仅当ï,亦即(an，b n)Î{(0，-1)，(0，1)}时等号成立.于是,ïb n=1有x < x （n Î N *）, 进而对任意m , n Î N *, 均有x > x , 所以z ¹ z . 从n n+ 1而, 此时的u Ï{-i，i}不满足要求.n+ m n n+ m n综上,存在u=±i,使得数列z，z，L 满足z=z（m为常数,且mÎN*）对一切1 2 n+ m nn Î N *成立.。