上海市青浦区2017届高三一模数学试卷
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =
2. 已知集合1{|216}2
x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A
B =
3. 在二项式62()x x
+的展开式中，常数项是
4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两
点，且
||AB =
则该双曲线的实轴长等于 5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =， 则输出S =
7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos 5
，则该圆锥的体积为
8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递
增数列，则实数b 的取 值范围是
9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平
放置的平面上画出为△A B C '''，
则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01） 10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的
一个动点，若满足
||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=
11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：
对任意x D ∈，点(,())x g x
与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的
“对称函数”，已知
()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，
且()()h x g x ≥
恒成立，则实数b 的取值范围是
12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其
中k 为不等于0与1
的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件
的1a 所有可能值 的和为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知()sin 3
f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两
个不同元素s 、t ，
则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ）
A. 12种
B. 13种
C. 14种
D. 15种
14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四
个命题：
①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；
②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；
③m ∥n ，m ∥α
n ⇒∥α；
④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥； 其中正确的序号是（ ）
A. ①④
B. ②③
C. ①②④
D. ①③④ 15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一
棵树与两坡的距离分别是4m 和
am （012a <<），不考虑树的粗细，现用
16m 长的篱笆，借助
坡角围成一个矩形花圃
ABCD ，
设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a =
（单位2m ）的图像大致是（ ）
A. B. C.
D.
16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，
存在22(,)x y M ∈，
使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列
四个集合：
①2
1
{(,)|}M x y y x ==
； ②2
{(,)|l o g }M x y
y
x ==；
③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)
|s i n M x y y
x ==+；
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成
角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；
18. 已知函数
221()cos ()4
2
f x x x π
+=
+--
（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2
π上的最大值；
（2）在ABC ∆中，若A B <，且1
()()2f A f B ==
，求BC AB
的值； 19.
如图，1F 、2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右
焦点，且焦距为
，
动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、
PB 分别与y 轴交于点M 、
N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；
20. 如图，已知曲线12:1x
C y x =
+（0x >）及曲线21:3C y x
=（0x >），1C 上的点1P 的
横坐标为1a （1102
a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于
x 轴，交曲线2C 于n Q
点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于
1n P +点，点n P
（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；
（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212
n n a a -<；
21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）； （1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；
（2）函数()y f x =
在[,2]t t +的最大值为
0，最小值是4-，求实
数a 和t 的值；
（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；
参考答案
一. 填空题 1.
34i -
2. [1,3)-
3. 160
4. 4
5.
2-
6.
3log 19
7.
16π
8.
3
b >- 9. 3.62
10. 4
11. )+∞
12.
22010
3
二. 选择题
13. C 14. A 15. B 16. C
三. 解答题 17.（1
）arccos
6（2）23π
；
18.（1）1；（2
；
19.（1）22
142
x y +=；（2）121k k =；
20.（1）12(,)23
；（2）116n n n a a a ++=；（3）略；
21.（1）(1,1)(3,5)-；
（2）0t =或2，2a =； （3
）当0a <≤
()M a a =
a >
，()M a a =；。