(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示:
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解, 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证) 反证法可证)
3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 根据解的结构定理 , 其通解为
1
且
推论. 推论.
是 n 阶齐次方程
个线性无关解, 的 n个线性无关解,则方程的通解为 个线性无关解
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
3.解法 3.解法 二阶常系数齐次线性微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 为常数时， 因为 λ 为常数时，函数 e l x和它的导数只差常数因子, 和它的导数只差常数因子, 为待定常数), 代入① y = el x ( λ 为待定常数), 代入①得 所以令① 所以令①的解为
y = C1ex + C2e3x
代入初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
故所求特解为
y = 4ex + 2e3x
例3 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解 解 该方程的特征方程为 λ - 2λ- 3 = 0 它有两个不相等的实根
2
λ1 = - 1, λ2 = 3
其对应的两个线性无关的特解为
y1 = e− x与y2 = e3x
所以方程的通解为
y = C1e−x + C2e3x
例4 求方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 的满足初始条件
y(0) = 1, y′(0) = 4 的特解． 的特解．
解 该方程的特征方程为 它有重根
λ - 4λ + 4 = 0
2
λ= 2
其对应的两个线性无关的特解为
uⅱ (2 λ1 + p ) u (λ12 + p λ1 + q ) u= 0 + +
u′′ = 0
λ1是特征方程的重根
y2 = x eλ1 x , 因此原方程的通解为 取 u = x ,则得
特征方程 λ + pλ + q = 0
y = ( C1 + C2 x )eλ1 x 2
3. 当p − 4q < 0时, 特征方程有一对共轭复根
′′ ′ = C1[ y1 + P(x) y1 + Q(x) y1]
′′ ′ + C2 [ y2 + P(x) y2 + Q(x) y2 ] = 0 证毕
说明: 说明:
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解. 不一定是所给二阶方程的通解 是所给二阶方程的通解.
例如, 例如, 是某二阶齐次方程的解, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 为解决通解的判别问题, 线性无关概念. 线性无关概念.
λ2 + pλ + q = 0, 特征根: λ1 , λ2 特征方程: 特征方程: 特征根:
特 征 根 实根
通
解
λ1 x λ2 x
y = C1 e + C2 e
y = ( C1 + C2 x )e
λ1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
(λ + pλ + q )e = 0
2
λx
λ2 + pλ + q = 0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 为微分方程① 特征方程, 其根称为特征根. 特征根 1. 当p − 4q > 0时, ②有两个相异实根
2
则微分
方程有两个线性无关的特解: 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
2 特征根: 特征根: λ1,2 = - 1 i , (3)特征方程 (3)特征方程 λ + 2λ + 5 = 0,
2
因此原方程的通解为
2.求微分方程 例2.求微分方程
y
x= 0
满足初始条件
= 6, y '
x= 0
= 10 的特解. 的特解.
特征根: 解: 特征方程 λ2 - 4 λ + 3 = 0, 特征根: λ1 = 1, λ2 = 3, 因此原方程通解为
定义: 定义: 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n个函数, 若存在不全为0的常数 个函数, 若存在不全为 个函数 不全为0 使得
则称这n个函数在 线性相关,否则称为线性无关 则称这 个函数在 I上线性相关,否则称为线性无关. 线性无关. 例如， 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有
9.3 二阶线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
1.定义 1.定义
形如 d2 y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x) 2 dx dx 称为二阶线性微分方程． 称为二阶线性微分方程．
称为二阶齐次线性微分方程． 当 f ( x ) = 0 时， 称为二阶齐次线性微分方程． 称为二阶非齐次线性微分方程． 当 f ( x ) ≠ 0 时， 称为二阶非齐次线性微分方程． 形如
y1 = e2x与y2 = xe2x
所以通解为 y = (C + C2 x)e 1
2x
y′ = C2e2x + 2(C1 + C2 x)e2x 求得
代入上两式， 将 y(0) = 1, y′(0) = 4 代入上两式，得 C1 =1, C2 = 2 因此， 因此，所求特解为
y = (1+ 2x)e
2x
y1 = e
− x 5 5 2 cos x, y2 = e sin x 2 2
所以方程的通解为
y =e
1 − x 2
5 5 x + C2 sin x C1 cos 2 2
阶常系数非齐 系数非齐次线性方程 二、二阶常系数非齐次线性方程
1.定义 1.定义 形如 y′′ + py′ + qy = f (x) ( p, q 为 数) 常 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程. 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程. 2.非齐次线性微分方程的解的结构定理 2.非齐次线性微分方程的解的结构定理 定理 3. 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 则 )是相应齐次方程的通解, 的一个特解, 的一个特解, Y (x)是相应齐次方程的通解,
y = Y(x) + y *(x)
是非齐次方程的通解 .
例如, 例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
Y = C1 cos x + C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, m)
的特解, 的特解, 是方程
的两个解, 的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. 叠加原理) 也是该方程的解.(叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 代入方程左边,
′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ] + Q(x)[C1y1 + C2 y2 ]
y*ⅱ er x[ r2 Q( x) + 2r Qⅱ ) + Q )] = (x (x
代入原方程 , 得 (1)若 不是特征方程的根 不是特征方程的根, (1)若 r不是特征方程的根,即 则取
y′′ + py′ + qy = f (x) Q (x)x 为m次待定系数多项式 ) 次待定系数多项式 λ 2 从而得到特解 e [ Q′′ (x) + ( 2λ + p )Q′ (x +(λ + p λ + q ) Q(x) ] 形式为 y* x e λ x Qm ( x) . λ= = e P (x) m
y ⅱ ay by数齐次线性微分方程, 称为二阶常系数齐次线性微分方程,
其中 a , b 为已知常数 .
2.解的结构定理 2.解的结构定理 定理1. 函 定理1. 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
1 y1 = 2 ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 1 y2 = 2 i ( y1 − y2 ) = eα x sin β x
因此原方程的通解为
y = eα2x+ pr + q = 0 C2 sin β x) 特征方程 r (C1 cos β x +
小结: 小结:
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为 数) 常
上都线性相关; 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 又如， 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 必需全为 0 , 在任何区间 I 上都线性无关. 上都线性无关.
上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0的 使
y =Y+ y*