是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通 解为
y C1 y1 C 2 y2 C1e
1 x
C 2e
2 x
。
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
2) 特征方程有实重根 1 2 ，则
1 2 (实重根)
y e 1 x (C1 C 2 x )
1, 2 i (共轭复根) y e x (C1 cos x C 2 sin x )
例
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
解
特征方程
特征根
2 2 3 0 ，
1 ，2 。
单根
你认为方程应该 有什么样子的特解？
二重根
一对共轭复根
假设方程 x y p y q y e Pn ( x ) 有下列形式的特解：y e x u( x ) ，则
( 2)
y e x u e x u ，
2 x x x y e u 2 e u e u ，
一对共轭k 重复根
1, 2 i
2k项 e x [(C1 C 2 x C k x k 1 ) cos x
( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x ]
例 解
d3 y d2 y dy 求方程 3 3 y 0 的通解。 3 2 dx dx dx
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
x
它能正确描述我 k 移项，并记 a ，则有 们的问题吗？ m d2 x 2 a x 0 ， (a 0) 。 2 dt 记拉长后，突然放手的时刻为 t 0 ，则有初始条件：
1 ＝－ 1， 2 3 ，
y C1e x C 2e 3 x 。
所求通解为
例
解
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解。
特征方程
2 2 5 0 ，
特征根
1 1 2 i ， 2 1 2 i ，
y e x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x ) 。
非齐次线性微分方程。而称方程 y p y q y 0 （6.50） 为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。
6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程
形如
y p y q y 0
(1)
的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 其中 p、q
为(实)常数。
假设方程有形如 y e x 的解，则代入方程后， 得
k x x0 cos a t ， ( a )。 m
n 阶常系数齐线性微分方程
形如
y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0
的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，
其中 p1 ,, pn
为(实)常数。
( 1 )
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
x
y p y q y f ( x) (2) y p y q y 0 。 (1)
其中 Pn ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an 。
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
特征方程
特征根
2 p q 0 ；
ds 4， dt
2 得 C 1 4 ， C2 2，
t 0
故所求特解为
s e t (4 2 t ) 。
例
（略） 用手将悬挂着的质量为 m 的弹簧从静止状态 开始拉长， 当点 O 的位移为 x x0 时， 突然放手， 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
r 4 5r 3 6r 2 0, 解 (1) 特征方程为 即r 2 ( r 6)( r 1) 0, 得特征值为
得特征值为 r1 r2 0, r3 6, r4 1.
故原方程的通解为
y c1 c2 x c3e 6 x c4e x .
( 2) 特征方程为 r 4 2r 2 1 0, 即( r 2 1) 0,
p 2 4q 0 ，
由求根公式
1, 2
p p 2 4q p ， 2 2
此时，y1 e 1 x 是方程 ( 1 ) 的一个解。
由刘维尔公式求另一个解：
pd x
p 21 0
e 1 x 1 x ( p 2 1 ) x y2 e 1 x 2 d x e e dx (e )
u( x ) Qn ( x ) b0 x n b1 x n1 bn1 x bn ，
故当 f ( x ) e x Pn ( x ) 中的 不是方程( 2) 的特征根时，
方程 (2) 有下列形式的特解:
y* e x Qn ( x ) 。
y e x u( x)
y e x u( x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x) 。 (3)
(1) 若 不是特征根，则
2 p q 0，
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x) 。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
p 而 ，即 2 p 0 。此时，方程( 3) 为 2
2 p q 0，
e 1 x d x x e 1 x。
于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通 解为
y C1e 1 x C 2 x e 1 x e 1 x (C1 C 2 x )。
二阶常系数齐线性微分方程 y p y q y 0 (1)
的特征方程为 2 p q 0 。
形如
y p y q y f ( x )
( 2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，
其中 p、q 为(实)常数。
它对应的齐方程为
y p y q y 0 。
(1)
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的 特解。
1. f ( x ) e Pn ( x ) 的情形
0。
t 0
所求通解为
由 x
dx 由 dt
t 0
y C1 cos a t C2 sin a t 。
x0 ，得 C1 x0 ；
＝ (aC1 sin a t aC2 cos a t ) t 0 C2 a 0 ，得 C2 0 。
简谐振动
t 0
从而，所求运动规律为
所求通解为
例
d2 s ds 求方程 2 s 0 满足初始条件的解： 2 dt dt
s
解
t 0
ds 4， dt
2 。
t 0
特征方程
2 2 1 0 ，
特征根
1 2 1，
s e t (C1 C 2 t ) 。
t 0
所求通解为
由初始条件 s
代入方程 (2) ，得
e x [u ( 2 p) )，
即 u ( 2 p) u ( 2 p q ) u Pn ( x ) 。 ( 3)
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
3) 特征方程有一对共轭复 根： 1 x ( i ) x
1 i ，2 i ，则
y1 e
e
， y 2 e 2 x e ( i ) x
1 2
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解 为 ( i ) x ( i ) x y C y C y C e C e 。
1 i ，2 i
时，原方程的通解可表示为
y e (C1 cos x C 2 sin x ) 。
x
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
特征方程
特征根
1 2 (实根)
p q 0。
2
通解形式
y C1e 1 x C 2e 2 x
6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程 在二阶线性微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )
如果p( x )，q( x )均为常数，则该方程变 为 y p y q y f ( x ) （6.49） 其中p、q均为常数，则称（6.49）为二阶常系数
1 1 2 2
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式： e i cos i sin 。
y1 e ( i ) x e x e i x e x (cos x i sin x ) ，
y1 e ( i ) x e x e i x e x (cos x i sin x ) 。
2e x p e x q e x 0 ，
即
2 p q 0 。
特征方程
二阶常系数齐线性微分方程 y p y q y 0 (1)
的特征方程为
2 p q 0 。
1) 特征方程有两个不同的实根 1 2 ，则
y1 e 1 x， y2 e 2 x
由线性方程解的性质：
1 y ( y1 y2 ) e x cos x ， 2