a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
方程为抛物型.其余 0, 方程为双曲型.
x2 y2 x2 y2 0, 方程为抛物型.特征方程 解：3（2）因为 是 dy 2 2 dy 2 x ( ) 2 xy y 0, dx dx dy y y cx 解之得: dx x, y 作变换 x x,
(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
（1）按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分程 （2） 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
1.指出下列方程的类型
(1).utt a uxx 0.
2
二阶线性齐次双曲方程 二阶线性齐次抛物方程 二阶线性齐次椭圆方程
作变换：
2 2 a12 a12 a11a22 a12 a12 a11a22 y x, y x. a11 a11
把方程化成关于 , 的方程即可.
u Au Bu Cu D.
2 a12 a11a22 0. （2） 抛物型方程特征曲线：
所以特征曲线: 令
x at c. x at c, x at c.
x at,
2
x at.原方程化为
u 0.
例3：将特里克米方程化为标准形式。
解：方程 的特征方程是
ydy dx 0. 在椭圆型区域 y 0 内,它可以化为
2 2
所以
有u( x, y) u( (x, y), ( x, y))
u x u x u x u u u y y y u xx u x2 2u x x u x2 u xx u xx u xy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy 2 2 u yy u y 2u y y u y u yy u yy
作业
2(1)(2),3(3)
解：1（1）因为 x2 y2 0, 若 x 0, y 0, 有 0, 即在坐标轴
上方程为抛物型. 若x 0, y 0, 有 x2 y 2 0,方程为双曲型.
解：1（2）因为 ( x y)2 0, 在直线 x y 0, 有 0, 即
做变换
2 x ( y ) , 3
3 2
2 x ( y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
2 作变换： a y a x, 11 a11a22 a12 x. 12 则 i 满足(1.7),代入,并将实部虚部分开：
a11 a 2a12 x y a a 2a12x y a a 22
2 11 x 2 22 y 2 11 x 2 22 y
a 2a12x y a22 0,
2 11 x 2 y
(1.7)
变为：
( a11x a22 y )2 0 a11 0.
( a11 x a22 y )( a11x a22 y ) 0 a12 0.
取
2 a12 a12 a11a22 y x. a11 另取一个与此量线性无关的量 即可把方程变为最简
有
u u y u ( 2 ) x x 2u 2u y 2 2u y u 2 y 2u 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 3 x x x x u u 1 y x 2u 2u 1 2 2 2 y x 2u 2u y 1 u 2 ( 3 ) 2 xy x x
有隐函数定理,则一般的二阶线性方程可以化为
a11u 2a12u a 22u b1u b2u cu f ,(1.4)
所以
a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 a 22 a11 x2 2a12 x y a22 y
方程化为:
1 u (u u ) 0. 2( )
当 y 0 为双曲型.方程已经标准形式. y 0 为椭圆型.特征方程 ( dy ) 2 y 0. 当 dx dy
解之得: 变换得: 有:
dx yi, 2 y xi c .
x 2 y
1、特征概念：
（1）
（2） （3）
a a11a22 0.
2 12 2 12 2 12
两条特征线。双曲型。
一条特征线。抛物型。 没有特征线。椭圆型。
a a11a22 0. a a11a22 0.
弱间断解：一个函数 u 在某一个 n 维区域内有连续的 一阶偏导，在除了一个 (n 1) 维曲面 S 上外有二阶连续的 偏导，且处处满足方程，同时 u 的二阶偏导在 S 上左 右极限存在。 特征线（面）：满足此条件的曲线（曲面）。
dx i ydy 0. 3 2 2 x i y c. 3
做变换
x,
2 y , 3
3 2
原方程化为
u u 1 u 2 0. 2 3
2 2
在双曲型区域
y 0 内,特征方程可以化为
dx ydy 0. 3 2 x ( y ) 2 c. 3
(1.7'')
( x, y ) 平面上的
a11dy2 2a12dxdy a22dx2 0,
(1.8)
a 2a12x y a 0,
2 11 x 2 22 y
(1.7)
称(1.8)为(1.7)的特征方程. 为求得(1.8)的积分曲线,将其分解为
2 a12 a12 a11a22 dy , dx a11 2 a12 a12 a11a22 dy . dx a11
第四章
第四章
二阶线性偏微分方程的分类与总结
一、 二阶线性方程的分类 二、 二阶线性方程的特征理论
三、三类方程的比较
四、先验估计
一、 二阶线性方程的分类
1、两个自变量的方程
一般二阶线性方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f ,(1.1)
u u u u 1 , y2 x y 2u 2u 2u 2u 1 u 1 3 2, 2 y ( y 2 ) x2 y 2 2
化简为:
1 u u u 0.
二、二阶线性方程的特征理论
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
2 2 2
dx 0dxdt a dt 0 dx adt 0
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
2 2
的类型。 解：特里克米方程中 a11 所以 即
y, a12 0, a22 1, 2 a12 a11a22 y
y 0 双曲， y 0 抛物, y 0 椭圆。
利用特征方程化简方程. （1） 双曲型方程特征曲线：
2 2 a12 a12 a11a22 a12 a12 a11a22 y x C, y x C. a11 a11
代入可得
x2u 0 u 0
( x 0)
解：3（3）因为
0 4 y 0 0
y0 y0 y0
当 y 0 为双曲型.特征方程
解之得:
变换得: 有:
dy y, dx
dy ( ) 2 y 0. dx
2 y x c .
（1） 双曲型：
（2） 抛物型： （3） 椭圆型：
（4） 混合型：
a a11a22 0. a a11a22 0. a a11a22 0.
2 12 2 12 2 12
在某一区域每一部分类型不同。
例1：讨论特里克米（Tricomi）方程
u u y 2 2 0. x y
u u u , x
x 2 y x 2 y
1 1 u u u (( y) 2 ) ( y) 2 y
2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x 3 3 2u 2u 2u 2u u 1 u 1 2 ( y)1 2 (( y)1 ) 2 ( y)1 ( ( y) 2 ) ( y ) 2 y 2 2 2
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f