现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722 = 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =14.3E = 14.30013.0 = 0.00041.3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < =21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 .4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x nx E n nn-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nxx x nxx x x nxx E x E r nn nn n r =-=-≈=-5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47.6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm .7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-, 所以n x nE xx x nxx E x E r nnnr 01.0)()()(*==-≈=.8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-= tt E gtt t gt SS S S E r )(22/)()(2**=-≈-=由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形. 12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x -| < = δ=⨯-21021于是有|*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10 |*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1104101110112→ 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--24721250413→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1472250413→ 21=x , 12=x , 2/13=x .（3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l 6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l 10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/955010/910/37003/13/23/1001126由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 31022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T .第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 123022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T.第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T .4、解： 对1=i , 2111==a d ； 对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T .求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10100000000010010015432l l l l⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡543210600000000600006006u u u u u计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u ,65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T . 求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T .（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3211001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x 14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x 5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。

(2) 雅可比迭代法：写出雅可比迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1---=+k k k x x x 52141)(3)(1)1(2+-=+k k k x x x10310351)(2)(1)1(3++-=+k k k x x x取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到18次达到精度要求,)18(x= （－3.999，2.999，1.999）T .高斯－赛德尔迭代法：写出高斯－赛德尔迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1---=+k k k x x x52141)(3)1(1)1(2+-=++k k k x x x10310351)1(2)1(1)1(3++-=+++k k k x x x取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到8次达到精度要求,)8(x= （－4.000，2.999，2.000）T .8、SOR 方法考试不考。