高中数学经典解题技巧（函数与方程及函数的实际应用）【编者按】函数与方程及函数的应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的重点和难点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。
好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下函数与方程及函数的实际应用的经典解题技巧。
首先，解答函数与方程及函数的实际应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
2．函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
好了，搞清楚了函数与方程及函数的实际应用的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
一、函数零点问题
考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容,因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.
2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。
解题技巧：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。
2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。
例1：（2010·福建高考文科·Ｔ7）函数223,0
()2ln ,0
⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。
【规范解答】选C ，⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x e
x x x x f ，绘制出图像大致如右
图，所以零点个数为2。
【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。
令()f x 0=，则
（1）当x 0≤时，2
x 2x 30+-=，x 3∴=-或x 1=（舍
去）；
（2）当x 0>时，2ln x 0-+=，2
x e ∴=
综上述：函数()f x 有两个零点。
二、用二分法求函数零点近似值
考情聚焦：1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.
2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题，考查学生的探究和计算能力。
解题技巧：用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；（2）求区间(a,b)的中点1x ；（3）计算f(1x ); ①当f(1x )=0,则1x 就是函数的零点；
②若f(a)·f(1x )<0,则令b=1x (此时零点01(,)x a x ∈)， ③若f(1x )·f(b)<0,则令a=1x (此时零点01(,)x x b ∈)。
(4)判断是否达到其精确度ε，则得零点近似值，否则重复以上步骤。
例2：已知函数2
()23.x
f x e x x =+-
（1）求证函数()f x 在区间[0，1]上存在惟一的极值点。
（2）用二分尖求函数取得极值时相应x 的近似值。
（误差不超过0.2;参数数
据
0.31.6, 1.3e e ≈≈≈）
【思路解析】求导数→(0)(1)0f f ''<→()f x '在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.
【解答】
0(1)'()43,'(0)320,'(1)10,'(0)'(1)0,
()'()43,'()40,'()[0,1]'()[0,1]()[0,1]x x x f x e x f e f e f f h x f x e x h x e f x f x f x =+-=-=-<=+>∴<==+-=+>∴∴则:令则在上单调递增,在上存在惟一零点，在上存在惟一的极值点.
（2）取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点20.375x =,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x 的值.
∴函数()y f x =取得极值时,相应0.375x ≈
三、函数的实际应用
考情聚焦：1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环境保护，工程建设等相关的增长率、最优化问题。
2．常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。
例3：（2010·湖北高考理科·Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：
()()01035
k
C x x x =
≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与
20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值，考查考生的阅读理解及运算求解能力．
【思路点拨】(0)8C =⇒k 的值20−−−−−−−−−−−−→
隔热层建造费用与年的能源消耗费用相加
()f x 的表达式
−−−−→利用导数()f x 的最小值
【规范解答】（Ⅰ）设隔热层厚度x cm ，由题意建筑物每年的能源消耗费用为
()()01035k C x x x =
≤≤+，再由(0)8C =得40k =，故()()40
01035
C x x x =≤≤+；又x 厘米厚的隔热层建造费用为6x ，所以由题意()f x =402035x ⨯++6x =800
35x ++6x ()010x ≤≤。
（Ⅱ）2
225
54()(5)24003()6(35)
(35)
x x f x x x +
-'=-
=++，令()f x '=0 得25
5,3
x x ==-
（舍去），当(0,5)x ∈时，()0f x '<，当(5,10)x ∈时，()0f x '>，故5x =时()f x 取得最小值，且最小值()5f =800
65155
⨯++=70
.因此当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元。
【方法技巧】解函数应用题的第一关是：正确理解题意，将实际问题的要求转化为数学语言，找出函数关系式，注明函数定义域；第二关是：针对列出的函数解析式按题目要求，选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。