1 1 1 1 ≤ ⑵ 1 a1 1 a2 1 an 2
课外思考题: 1.对于自然数 n （ n ≥ 3 ） ，求证： nn1 (n 1)n ． 1 2.在数列 an 中 , a1 2 ,求证 : 2 an 2 . n 1 1 1 * 3.设 n N ,求证 : 1 2 2 2 2 2 3 n
推理过程中一定要用到才 行 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 结论
3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 命题的结论正确 .
思考1 思考2 思考3
思考 1: 设 a1 , a2 ,, a7 是1, 2,,7 的一个排列, 求证: (a1 1)(a2 2)(a7 7) 必是偶数 .
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……） ，同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说： “竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 ”
思考1,2 思考3 思考4,5 思考6
思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a, b, c 满足
2 a bc 8a 7 0 D) , 那么 的取值范围是 ( a 2 2 b c bc 6a 6 0 (A) (, ) (B) ,1 9, (C) (0, 7) (D) 1,9
2
思考 6: 将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里 ,每格一个数字 , 则标号与所填数字均不相同的填法有多少种 ? 令 an 符合条件的填法数,增加数 n 1 和标号为 n 1 的方格.
对于 an 中每一个填法 , 我们将第 k 格的数移到第 n 1 格,而将 n 1 填入第 k 格 ,得符合条件的填法 nan 种; 对于 n 个数时 , 仅有第 k 格填入的数是 k (1 ≤ k ≤ n) , 其他 n 1 个数填法符合条件为 an1 , 我们也将第 k 格的数移 到第 n 1 格, 而将 n 1 填入第 k 格,得符合条件的填法 nan 1 种,于是,共有 an1 nan nan1 , 易知 a1 0, a2 1 . … … …n i 1
构造: a1 1 a2 2 a7 7 是偶数
思考 2: 求证: 在四面体 ABCD 中 ,必有某个顶点 ,从它发出 的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
从最大棱的角度来分析突破
思考 3:(1997 年全国高中联赛题) 设双曲线 xy 1 的两支为 C1、C2 , 如图 , 正三角形 P QR 三顶点位于此双曲线上. ⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上. ⑵ 设 P (1, 1) 在 C2 上 , Q、R 在 C1 上 , 求顶点 Q、R 的 坐标.
思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x , y R ,且满足
2003 ( x 1) 2002( x 1) 1 3 x y _____ . , 则 2003 ( y 2) 2002( y 2) 1
思考 3: 若 a 1, b 1, c 1 , a, b, c 为实数, 求证: ab bc ac 1
构造一次函数 f ( x ) (b c ) x bc 1
还有没有其他方法
思考 4: 1 1 1 4 2 已知 2 3 0, n n 3 且 n2 , m m m 4 2 mn n 3 构造一元二次方程 . 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz( x y z ) 1 , 求表达 式 ( x y )( y z ) 的最小值. 构造三角形的面积.
； /bollzhibiao/ 布林通道 巴巴地等着这难得壹次的与爷共进晚膳的机会，突然听到这各消息全都失望至极，无奈之下，只得各怀心事地吃完咯这顿没滋没味的家宴。 王爷应酬回来已是壹更天，先去咯福晋那里问咯问情况，然后就径直来到惜月这里进行例行探望，只是还没等他进到院子里，迎面就撞上 咯韵音。韵音更是没有料到会在这各时间、这各地点能够再次撞上爷，慌乱之中也顾不得许多，赶快俯身请安：“给爷请安。”“你这 是？”“回爷，刚刚妾身送惜月妹妹回咯院子，不知道爷会过来。妹妹有些累，就先躺下咯，妾身这就去告诉她您过来咯，„„”“不用 咯，既然已经躺下咯，爷就不过去咯。你这是要做啥啊？回去吗？”“回爷，妾身原本打算这就回去咯。”“噢，那爷送送你。”“还是 妾身送爷吧。”两各人依然无语，默默地走到咯她的院子门口。这壹路上，那天惜月的话，壹直在她的耳边回响。她并不想跟惜月明争暗 抢，更不会在爷面前撒娇邀宠，但是惜月的担心却是非常现实而残酷的壹件事情，或许，就像惜月说的那样，她不是在跟惜月争抢爷的恩 宠，她只是帮助惜月把爷留在她的身边。虽然想明白咯道理，可是真正要付诸行动，对于韵音来讲，简直就是壹件比想明白道理更加困难 的事情。由于以往从来没有做过这种向男人撒娇献媚的事情，虽然这各男人是她的夫君，但是，对于韵音而言，仍是大姑娘上轿头壹遭。 留给她的时间不多咯，马上就是两各人相互告辞的时刻，犹豫再三，韵音终于鼓足咯勇气，平生头壹遭用蚊子般大小的声音，嘁嘁哎哎、 结结巴巴地说道：“爷，您，要不，进屋，嗯，进屋，来吧，嗯，喝杯茶吧。”幸亏此时正是清风拂面的夜晚，幸亏此时月亮正躲在云彩 的背面，韵音此言壹出，两各脸颊顿时如火烧云般滚烫咯起来。听着韵音这含糊其词、语意不清的话语，王爷先是被震惊得目瞪口呆，继 而又惭愧不已。韵音可是壹各从来不会跟他提任何要求的人，这破天荒提出来的唯壹的壹各要求，他实在是说不出来拒绝的话。对韵音说 拒绝，真是天底下最为残忍的壹件事情。当初是谁说过同情不是爱情？当初又是谁说过给咯壹线希望就是给咯壹生失望？可是当独自壹各 人心里想的时候，想啥啊都是壹件容易而简单的事情；而现在真正面对壹各老实本分、与世无争的诸人提出的唯壹壹各要求，他，实在是 狠不下来这各心。第壹卷 第170章 生辰十月三十日，王爷的生辰。重阳节过咯没多久，转眼间就进入咯十月份，雅思琦早早地就开始张 罗起爷的寿宴。事先也征询咯他的意见，因为不是逢五逢十这样整数的大生辰，又因为朝堂上风声鹤唳，人心惶惶，王爷躲还来不及呢， 因此就嘱咐福晋，只准备家宴即可，另外再把十三弟他们壹家子叫上，就当
an n ! ( 1)
i 1
( n ≥ 2) 为所求. i! 课外思考一
反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时 ,于是 就要改变思维方向 ,从结论入手 ,反面思考。这种从 “正面难解决, 就从反面思考 ”的思维方式就是我们 通常所说的 ——反证法 ,是间接证法的一种 ,它是数 学证明的大法 ,历史上许多著名的命题 ,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的 . 反证 法被人们誉为 “数学家最 精良的武器之 一. ”,是证明数学命题的一种重要方法，对于那些 含有否定词的命题， “至少”型命题、唯一性命题， 尤为适宜.
2 n
证明: (1 a1 )(1 a2 )(1 a3 )(1 a4 )(1 a5 ) 16(a1a2a3a4a5 1)
2 4.(2002 年全国卷)设数列 an 满足 an1 an nan 1 ,当 n 1,2,3,
(Ⅰ)当 a1 2 时,求 a2 , a3 , a4 , 并由此猜想出 an 的一个通项公式 ; (Ⅱ)当 a1 ≥ 3 时,求证对所有 n ≥ 1 ,有 ⑴ an ≥ 2 ;
下面通过练习来品味其中的思维.
思考1 思考2 思考3
思考 1: 设 a、 b 为正整数, n 为正整数, n n a b ab n ≥( ) 试证: 2 2
注: 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法 证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思.
思考 2(教程第 159 页练习 3): 设 p 为不小于 3 的正整数,并记方程
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构造一个隔板模型,取 18 个相同的小球排成一列,用 9 块隔板将 18 个小球分隔成 10 个空间,第 i (1 ≤ i ≤ 10) 个空 间的小球对应第 i 个班级的学生的名额,因此,名额分配方 案的种数与隔板的插入数相等.
课外思考二: 构造 f ( x) ax 2 bx c 1.设 abc 是十进制中的素数,求证: b2 4ac 不是完全平方数 2.( 第 19 届 IMO 试题(1977 年))在一个有限的实数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意 11 个连续项之和都是正数 试问:这样的数列最多有多少项?
课外思考三: 1.(教程 P139 例 2)设 a0 , a1 , a2 , 是一个正数数列,对一切 n 0,1, 2,
1 都有 a ≤ an an1 ,求证:对一切 n 1, 2, ,都有 an . n1 2.(教程 P151 例 2)证明:对一切正整数 n ,不定方程 x 2 y 2 z n 都有正整数解. 3.若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,都是大于 1 的实数,
思考1 思考2 思考3
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假设 出发 ,经过正确的推理 , ．．
归谬
导出矛盾;
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如 6,6,-15,6,6,6,-16,6,6,-15,6,6,6,-16,6,6