高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）跟踪训练题一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4=( ) (A)12(B)10(C)8(D)62.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211(D)11×2103.已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25(B)50(C)100(D)不存在4.已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( )A ．35 B.33 C.31 D.29 5. 设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=-C 、2Y XZ =D 、()()Y Y X X Z X -=-6.（2010·潍坊模拟）已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8=S 7，则下列说法不正确的是（ ）A ．S 9<S 10B ．d<0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8=0二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n 组各数的和是 .（用含n 的式子表示）8.已知数列{a n }满足:a 4n-3=1,a 4n-1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=_______;a 2 014=_______.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=15,S 5=55,则过点P(3,a 3),Q(10,a 10)的直线的斜率为_______.三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）10.数列{}n a 的通项()()10111nn a n n N *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由11.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列. （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真？并给出证明. 12.已知数列}{n a 中，前n 项和为nS ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），（1）求2a ，3a 的值；（2）设n n n a b 2λ+=，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。

（3）在（2）的条件下，设数列}1{1+⋅n n b b 的前n 项和为n T ，求证：51<n T 参考答案一、选择题1. 【解析】选C.S 4==2×(1+3)=8.2. 【解析】选B.∵log 2x n+1-log 2x n =1,∴{x n }为等比数列，其公比q=2,又∵x 1+x 2+…+x 10=10,∴x 11+x 12+…+x 20=q 10(x 1+x 2+…+x 10)=210×10.3. 【解析】选A.∵S 20=×20=100,∴a 1+a 20=10,∵a 1+a 20=a 7+a 14,∴a 7+a 14=10. ∵a n >0,∴a 7·a 14≤()2=25.4. 【解析】选 C由2311414222a a a a a a a ⋅=⇒⋅=⇒=，又475224a a +=⨯得 714a =所以，37411428a q a ===，∴ 12q =，41321618a a q ===， 55116[1()]231112S -==-5. 【解析】选 D ，设等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，由题意，12nX a a a =+++L12122n n n nY a a a a a a ++=+++++++L L1212221223n n n n n n nZ a a a a a a a a a ++++=+++++++++++L L L∴Y X qX -=，Z Xq Y -=，所以()()Y Y X X Z X -=-，故D 正确。

6. 【解析】选A 由题意知d<0，a 8=0，所以10981091090..a a a S S a S <<=∴=+<二、填空题7. 【解析】前1n -组共有偶数的个数为(1)123(1).2n n n -++++-=L 故第n 组共有n 个偶数，且第一个偶数是正偶数数列{}2n 的第2(1)(1)12[1]222n n n n n n --+⨯+=-+项，即，所以第n 组各数的和为23(1)(2)2.2n n n n n n n --++⨯=+答案：3.n n +8. 【解析】依题意，得a 2 009=a 4×503-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0. 答案：1 09. 【解析】∵a 4=15,S 5=55. ∴55==5a 3,∴a 3=11. ∴公差d=a 4-a 3=15-11=4.a 10=a 4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) k PQ ==4.答案：4三、解答题10. 【解析】方法1：()()1110101092111111111n n nn n na a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q∴当n ＜9时，110n n n na a a a ++->∴>当9n =时110n n n na a a a ++-=∴=，当n ＞9时，110n n n na a a a ++-<∴≤，故129101112a a a a a a <<<=>>>L L，∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为9101011⎛⎫⋅⎪⎝⎭，其项数为9或10()()()()()()11111021,111010129,111110.1010111111,910.nn n n n n n n n n a n n N n n a a n a a n n n n N n *++--*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪ ⎪≥≥⎧⎧⎪⎝⎭⎝⎭∴⇔⇔⎨⎨⎨≥≤⎩⎩⎛⎫⎛⎫⎪+≥- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩∈∴=Q Q 方法或∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为9101011⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，其项数为9或1011. 【解析】（1）在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列.（2）设数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知:2a m+2=a m +a m+1， 即 2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . ∵a 1≠0,q ≠0,∴2q 2-q-1=0,12. 【解析】（1）由2122++++=n n n n a S S （+∈N n ）得2122+++=-n n n n a S S 即2122+++=n n n a a （+∈N n ） ∵51=a∴188********=+=+=+a a 521636222223=+=+=+a a（2）由条件25211λλ+=+=a b4182222λλ+=+=a b8522333λλ+=+=a b ∵}{n b 为等差数列∴3122b b b += 即852254182λλλ+++=+⨯解得0=λ∴n n n a b 2=且 251=b ，292=b ∴212=-b b ， 即数列}{n b 是公差为2=d ，首项为251=b 的等差数列（3）由（2）得2142)1(25+=⨯-+=n n b n （+∈N n ）∴541141)54)(14(411+-+=++=⋅+n n n n b b n n∴n T =13221111++++n n b b b b b b Λ =)541141()13191()9151(+-+++-+-n n Λ =5154151<+-n ∴51<n T。