闸北区2015学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 ． 2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 3．如果复数z 满足||1z =且2za bi =+，其中,ab R ∈，则a b +的最大值是 ．4．在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA u u u r ，OB uuu r 在向量OC u u u r方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．6．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．7．ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac cb a +=-，若ABC ∆最大边长sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．8．在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________． 9．如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．10．设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．已知a r 与b r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->r r 是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )CBAlD 1 . A 1CEABCD B 1A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件12．已知,,,SA B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == BC =O 的表面积等于（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动. （1）探求AE 等于何值时，直线1D E 与平面11AA D D 成45o角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6PP +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．17．（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4．（1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？请说明理由．18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2nn n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =L ，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+L 的所有n 的值．高三数学（理科）期中练习卷参考答案一、填空题1、122、3a ≥ 3 4、2 5、50006、37、18、1+9、(0,2]2π-10、2m ≤-或2m ≥填空题详解：1、解：22122(2)()2(1)37f a aa a f --=+=+-=-=，∴原式23712=++=2、解：{|22}A x a x a =-<<+，{|13}B x x =-<<，B A ⊆Q2123a a -≤-⎧∴⎨+≥⎩⇒3a ≥ 3、解：由||1z =可知2||1z =，221a b ∴+= 222()2()2a b a b ∴+≤+=2a b ==取等a b ∴+≤4、解：<法一>：向量OA u u u r ，OB uuu r 在向量OC u u u r 方向上的投影分别为||OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u ur ，||OB OCOC ⋅u u u r u u u ru u u r ，由条件OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即3464a b +=+，342a b ∴-=<法二>：向量OA u u u r ，OB uuu r 在向量OC u u u r方向上的投影相同，AB OC ∴⊥，即0AB OC ⋅=u u u r u u u r3(2)4(1)0a b ∴-+-=，即342a b -=5、解：设获得的奖金为ξ元，则ξ=7000,5600,4200(7000)P a ξ==，(5600)2P a ξ==，(4200)4P a ξ==，71a =Q 17a ∴=1247000560042005000777E ξ∴=⨯+⨯+⨯=6、解：12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，12PF F ∆的面积为9，12121||||9,||||182PF PF PF PF ∴⋅⋅=∴⋅=u u ur u u u u r u u u r u u u u r 由椭圆定义，222121122||||2||2||||||4PF PF a PF PF PF PF a +=⇒++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r 2221212,||||(2)PF PF PF PF c ⊥∴+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q 代入上式得，2212(2)2||||(2)c PF PF a +=u u u r u u u u r ，2212(2)(2)2||||a c PF PF ∴-=u u u r u u u u r ，2121||||92b PF PF ∴==u u u r u u u u r ，3b ∴=7、解：Q 222ac c b a +=- 1cos 2B ∴=-，23B π∴=，最大边为b又sin 2sin C A =Q ，2c a =，∴最小边为a由余弦定理2221422()2a a a a =+-⋅⋅⋅-解得1a =8、解：联立方程组得(2)21ρρρ-=⇒=±0ρ≥，故所求为1+9、解：两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB ，此时0S →两圆外切时，1r =，2=14S π∴⋅扇形，=2-2=2-42S ππ∴⋅，0,2-]2S π∴∈（10、解：依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立。

当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 二、选择题：11、B 12、A 13、C选择题详解：11、解：由向量几何意义知||1(,)3a b πθπ->⇒∈r r 若5[,)||126a b ππθ∈⇒->r r12、解：.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244R ππ=13、解：2n ≥时有1133n nn n a S a S +-=⎧⎨=⎩，则113()n n n n a a S S +--=-，于是13n n n a a a +-=，即14n n a a += 又213a S =，即213a a =，∴数列{}n a 一定不是等比数列。

若10a =，则对任意正整数n ，有0n a =，它不是等比数列但它是等差数列 三、解答题 14、（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）法一：长方体1111ABCD A B C D -中，因为点E 在棱AB 上移动，所以EA ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=o 1AE AD ⇒==法二：以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)DC =u u u r，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-u u u u r ，由11sin 4D E DC D E DCπ⋅=u u u u r u u u ru uu u r u u u r，得y =，故AE =（2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA =u u u u r ，1(0,2,1)DC =u u u u r，(1,1,0)DE =u u u r设平面11DA C 的法向量为(,,)n x y z =r ，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u u r 020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 令1(1,,1)2n =--r ，所以点E 到平面11A DC 的距离为n DE d n⋅=r u u u r r1=.15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由题意知， )1(6)204(pp x p p y +--+= 将42+=x P 代入化简得： x x y 2322419-+-= （0x a ≤≤）. （2）10)2(216322)2216(2322=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 上式当且仅当2216+=+x x ,即2=x 时，取等号。