高三数学二模考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2101234B =--，，，，，，，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1,2,3- B. {}0,1,2,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵ 集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2,10123,4B =--,,,,，∴{}0,1,2,3A B =I ． 故选：B ．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数1i z i=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，求得z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，∴ 12z i +=+，∴z 在复平面内对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-， 平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()02,B ．代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴ 目标函数2z x y =-的最小值是4-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a L =（ ）A. 16B. 64C. 128D. 256【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得q ，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵()64312a a a a +=+，∴()53221q q q +=+，解得32q =．∴0+1+2++6213771237()2128a a q a a q q ⋅⋅⋅=====⋅L L ．故选C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A.【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m ，80，93，其中0m >,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ） A. 70 B. 75C. 80D. 85【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数为80，可知80m ≤，从而得到平均数小于等于81，从而确定结果. 【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67，80，85，93 该学生这5次考试成绩的中位数为80，则80m ≤ 所以平均数：85678093815m ++++≤，可知不可能为85本题正确选项：D【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43B. 2C.52D.83【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果. 【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体 则三棱柱体积112323222V =⨯=；三棱锥体积21121233222V =⨯⨯= 所求体积122V V V =+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数()2sin 1(02)3f x x πωωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 直线6x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴B. 函数()y f x =图像的对称中心是1,03k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k z ∈ C. 1316f ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 函数()y f x =的最小正周期为π 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称轴求得ω，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，76x =是函数()y f x =的对称轴，所以73=2,632k k z ππωπ++∈解得12=+,7k k z πωπ∈，因为02ωπ<<，所以=ωπ，()2sin 13f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，13132sin 11663f ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()y f x =的最小正周期为22ππ=,由 =,32x k k z ππππ++∈得对称轴方程为1,6x k k z =+∈，由 =,3x k k z πππ+∈得对称中心为1,13k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，k z ∈， 故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ） A. 5a B. 6aC. 7aD. 8a【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值.【详解】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825na n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项.故选A. 【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线与22(2)(1)1x y -+-=相切，则ba=（ ） A.43B.34C.169D.916【答案】B 【解析】 【分析】符合条件的渐近线方程为0by ax -=，与圆相切，即d=r ，代入公式，即可求解【详解】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B 。

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题。

12.设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数()[]2ln ln 2,21,0x x x x f x e ax x -⎧-->=⎨--≤⎩，若()f x 有且只有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],e -∞- B. (),e -∞- C. (],1-∞-D. (),1-∞-【答案】D 【解析】 【分析】首先令ln x t =，再画出[]y t =及22y t =-在[]1,2-上的图象，即可判定x>0时的交点个数，再把x<0时方程整理成1x e ax --=，结合单调性即可求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，令ln x t =，t R ∈，由()0f x =，得[]22t t -=，[]22t t t -=≤，解得12t -≤≤，作出[]y t =及22y t =-在[]1,2-上的图象.如图，可知有3个交点，其横坐标分别为11t =-，212t <<，32t =，则当0x ≤时，函数()f x 有1个零点，令()1x f x e ax -=--，则()'x f x e a -=--，()0f x '=，结合题意知0a <，解得1ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得1a <-，函数在区间1ln ,0a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在区间1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，又因为()00f =,故1ln 0f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当(),1a ∈-∞-时，111110a a f e e a ⎛⎫-=+-=> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理可得函数在区间11,ln a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有一个零点，若函数()f x 有5零点，则1a <-,故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的零点个数求解参数的取值范围，其中解答中正确作出函数图像，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||2a =r ，||3b =r ，a r ，b r的夹角为120︒，则|2|a b +=r r __________.13【解析】 【分析】先利用平面向量数量积的运算法则求得2|2|a b +v v 的值，再开平方即可得结果.【详解】因为2a =v ，3b =v ，a v ，b v 的夹角为120︒， 所以2222|4|||4cos120a b a b a b +=++⋅︒v v vv v v 1449423132⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以2a b v v +=1313【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .14.51()(2)x x x++的展开式中2x 的系数为__________． 【答案】120 【解析】 【分析】 先拆项：()()()55511222x x x x x x x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，再分别根据二项展开式求特定项系数，最后求和得结果. 【详解】()()()55511222x x x x x x x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭， 因为()52x x +的展开式中含2x 的项为4425··280,x C x x = ()512x x +的展开式中含2x 的项为232251··240C x x x=， 所以2x 的系数为8040=120+. 故答案为：120【点睛】本题考查二项展开式求特定项系数，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.15.某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B 就行; 小张说：B ，C ，D ，E 都行;小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行; 小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为______________． 【答案】D 【解析】小赵可以看的电影的集合为{},,,A C D E ，小张可以看的电影的集合为{},,,B C D E ，小李可以看的电影的集合为{},,,,A B D E 小刘可以看的电影的集合为{},,,A B C D ，这四个集合的交集中只有元素D ，故填D ．16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，当1MD MA +取得最小值时，1MD MA ⊥，则棱1CC 的长为__________.【答案】32【解析】 【分析】把长方形11DCC D 展开到长方形11ACC A 所在平面，利用三点共线时1MD MA +取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得1CC 的值.【详解】把长方形11DCC D 展开到长方形11ACC A 所在平面，如图，当A ，M ，1D 在同一条直线上时，1MD MA +取得最小值，此时11121MA AC MD C D ==，令2MA x =，1MD x =，1CC h =，则222222(2)3(3)3x x h x h ⎧+=+⎨=+⎩，得32h =.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若222222a c b a b c +-=+-.（1）求B ；（2）若1b =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）4B π=；（2【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式，求得ac 的最大值，由三角形面积公式，求得面积的最大值.【详解】解：（1）由余弦定理可得，2222222cos 2cos a c b ac Ba b c ab C+-==+-，则cos cos B C =，cos cos sin sin cos A B B C B C =+()cos sin sin A B B C A =+=，因为sin A 0≠，则cos 2B =，所以4B π=.（2）由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-，即221a c =+，所以2212a c ac =+≥，则22ac +≤=.11sin 24ABC S ac B ∆=≤.所以ABC ∆. 【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查两角和的正弦公式的应用，考查三角形内角和定理的应用，属于中档题.18.某种类型的题目有A ，B ，C ，D ，E 5个选项，其中有3个正确选项，满分5分.赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分,选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为ACD ，假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.（1）若甲同学无法判断所有选项，他决定在这5个选项中任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率；（2）若乙同学只能判断选项AD 是正确的，现在他有两种选择：一种是将AD 作为答案，另一种是在B,C,E 这3个选项中任选一个与AD 组成一个含有3个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种,请说明理由. 【答案】（1）310；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先确定甲同学获得0分时对应答题情况，再根据古典概型概率公式求解，（2）分别计算两种情况下得分的数学期望值，再比较大小，即可判断选择.【详解】（1）甲同学在这5个选项中任选3个作为答案得分为0分，只有一种情况，那就是选了1个正确答案2个错误答案.所以，所求概率123235310C C P C ==. （2）乙同学的最佳选择是选择AD . 理由如下：设乙同学此题得分为X 分，①若乙同学仅选择AD ，则4X =，X 的数学期望4EX =②若乙同学选择3个选项，则他可能的答案为,,ABD ACD ADE ，共3种. 其中选择,ABD ADE ，得分均为1分，其概率为23；选择ACD ，得分为5分，其概率为13.所以数学期望21715333EX =⨯+⨯=. 由于743>，所以乙同学的最佳选择是选择AD . 【点睛】本题考查古典概型概率以及数学期望，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ACD ∠=︒，2CD =，PAC∆为边长为2的等边三角形，PA CD ⊥．（1）证明：平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）90o 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理计算得AD ，再根据勾股定理得AC AD ⊥,即得ACD ∆为等腰直角三角形，取CD 的中点O ，可得AO CD ⊥，结合条件根据线面垂直判定定理得CD POA 平面⊥，即得CD PO ⊥，根据勾股定理得PO AO ⊥，根据线面垂直判定定理得PO ABCD ⊥平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】（1）在ACD ∆中，045ACD ∠=，2CD =，2AC =，由余弦定理可得，2AD =故222AC AD CD +=，所以090CAD ∠=，且ACD ∆为等腰直角三角形. 取CD 的中点O ，连接AO ，由AC AD =，得AO CD ⊥，连接PO ， 因为PA CD ⊥，所以CD POA 平面⊥，所以CD PO ⊥. 又1AO =，1PO =，2PA =222AO PO PA +=，即PO AO ⊥.又CD OA O ⋂=，所以A PO BCD ⊥平面，又PO PCD ⊆平面.所以PCD ABCD 平面平面⊥.（2）解：以O 为原点，OD ，OA ，OP 所在的直线分别为,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1P ，()0,1,0A ，()1,0,0C -，()2,1,0B -，()1,0,0D .设平面PAB 的法向量(),,n x y z =v，()0,1,1PA u u u v =-，()2,0,0BA =u u u v ， 0·00·0y z n PA x n BA ⎧-=⎧=⇒⎨⎨==⎩⎩u u u v v u uu v v ，令1y =，则1z =，所以()0,1,1n =v ， 设平面PDB 的法向量(),,m a b c =v，()2,1,1PB =--u u u v ，()3,1,0BD u u u v =-， 20·030·0a b c n PB a b n BD ⎧-+-=⎧=⇒⎨⎨-==⎩⎩u u u v v u u uv v ，令1a =，则3,1b c ==，所以()1,3,1n =v ， 故·222cos ?n m n m n m ==u u v v v vv v .因为二面角A PB D --为锐角，所以二面角A PB D --的余弦值为222【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线2AF 2，12AF F ∆为等腰直角三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用,,a b c 表示出点O 到直线2AF 的距离；再利用b c =和,,a b c 的关系得到方程，求解得到标准方程；（2）当直线l 斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为2得到t 与k 的关系，将直线方程化为()11y k x =-+，从而得到定点；当斜率不存在时，发现直线也过该定点，从而求得结果.【详解】（1）解：由题意可知：直线2AF 的方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -++=2bc a == 因为12AF F ∆为等腰直角三角形，所以b c = 又222a b c =+可解得a =1b =，1c =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）证明：由（1）知()0,1A -当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠±代入2212x y +=，得()222124220k x ktx t +++-=所以()()222216412220k t kt∆=-+->，即2221t k -<设()11,M x y ，()22,N x y ，则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+ 因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2 所以121212121111AM AN y y kx t kx t k k x x x x +++++++=+=+()()()1221211422222t x x t kt k k x x t +++⋅=+=-=-整理得1t k =-所以直线l 的方程为()111y kx t kx k k x =+=+-=-+ 显然直线()11y k x =-+经过定点()1,1当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =因为直线AM 与直线的斜率之和为2，设(),M m n ，则(),N m n - 所以1122AM AN n n k k m m m+-++=+==，解得1m = 此时直线l 的方程为1x = 显然直线1x =也经过该定点()1,1 综上，直线l 恒过点()1,1【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定点问题，解决定点问题的关键是能够通过已知中的等量关系构造关于参数的等式，减少参数数量，从而变成只与一个参数有关的函数关系式，进而求得定点.21.已知函数2()ln f x x x kx x =--，,a b 是函数()f x 的两个极值点()a b <.（1）求k 的取值范围. （2）证明：2a b e >g . 【答案】（1）1(0,)2e；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导数，再分离变量，转化为研究对应函数图象，利用导数研究新函数单调性，结合函数值域确定k 的取值范围，（2）先由（1）得1a e b <<<，再根据导函数()ln xg x x=单调性以及,a b 是函数()f x 的两个极值点转化不等式为()2e g b g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，化简转化证不等式2222ln 0b b b e ->+,利用导数研究()()2222ln ,,b h b b b e b e=-∈+∞+单调性，即可根据单调性证结论.【详解】（1）因为()'ln 121ln 2.(0)f x x kx x kx x =+--=->. 所以ln 20x kx -=由两个不等的实数解， 则ln 2x k x =，令()ln x g x x =，则()21ln 'xg x x -=， 当0x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <. 函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，且()1g e e=， 所以102k e <<，解得102k e <<，k 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）证明：由（1）得ln 2ln 20a ka b kb -=-=，即ln ln 2a bk a b==，且1a e b <<<. 要证2·a b e >，只需2e a b>，又函数()g x 在()0,e 上单调递增，即证()2e g a g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又()()g a g b =所以只需证()2e g b g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭.()()()222222222ln 2ln ln ·b b e b b b b e e b g b g b be b e ⎛⎫+- ⎪-+⎛⎫⎝⎭-=-=⎪⎝⎭. 令()()2222ln ,,bh b b b e b e =-∈+∞+，()()()()()22232222222441'0b b e b b e h b b b b e b e+--=-=>++. 所以函数()h b 在(),e +∞上单调递增，()()0h b h e >=，即()20e g b g b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭.故2·a b e >【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属难题.22.在直角坐标系xOy 中，直线l0y a ++=，曲线C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）若直线=()6R πθρ∈与l 的交点为M ,与C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a .【答案】（1cos sin 0a θ+ρθ+=，22sin 80ρ-ρθ-=；（2）1- 【解析】 【分析】（1）将曲线C 变为普通方程，然后将cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入l 和C 的方程中，从而得到极坐标方程；（2）将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程，可以得到231ρ+ρ=，从而求得112ρ=，得到M 坐标代入l ，从而求得a .【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=0y a ++=中 得到直线l cos sin 0a θρθ++= 在曲线C 的参数方程中，消去θ，可得()2219x y +-= 即22280x y y +--=将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22280x y y +--=中得到曲线C 的极坐标方程为22sin 80ρρθ--= （2）在极坐标系中，由已知可设1,6M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭联立262sin 80πθρρθ⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得280ρ-ρ-= 所以231ρ+ρ=因为点M 恰好为AB 的中点，所以112ρ=，即1,26M π⎛⎫⎪⎝⎭把1,26M π⎛⎫⎪⎝⎭cos sin 0a θρθ++=，得31044a ++=所以1a =-【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键是能够明确极坐标与直角坐标互化的基本方法，同时能够利用ρ的含义在极坐标系中解决距离类问题.23.已知()f x x a x =++.（1）当1a =时，求不等式()3f x <的解集；（2）设关于x 的不等式()3f x <有解，求a 的取值范围. 【答案】（1）(2,1)-；（2）33a -<<. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法去绝对值，将()f x 转化为分段函数的形式，并由此解出不等式的解集.（2）先利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，这个最小值小于3，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，不等式13x x ++<等价于()113x x x <-⎧⎨-+-<⎩，或()1013x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩，或()013x x x >⎧⎨++<⎩，解得21x -<<-或10x -≤<，即01x <<. 所以不等式()3f x x +<的解集是()2,1-. （2）由题意得()min 3f x <，因为()f x x a x x a x a =++≥+-=，故3,33a a <-<<.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，属于中档题.- 21 -。