2020届高三数学模拟考试(理科)含答案(满分150分,用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}0652<--=x xx A ,{}02<-=x x B ,则=B A I ( )A .{}23<<-x x B .{}22<<-x x C .{}26<<-x x D .{}21<<-x x2.设i z i -=⋅+1)1(,则复数z 的模等于( )A .2B .2C .1D .3 3.已知α是第二象限的角,43)tan(-=+απ,则=α2sin ( ) A .2512 B .2512- C .2524 D .2524-4.设5.0log 3=a ,3.0log 2.0=b ,3.02=c ,则c b a ,,的大小关系是( )A .c b a <<B .b c a <<C .b a c <<D .a b c <<5.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32,并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为π24,则该圆柱的内切球体积为( )A .π34 B .π16 C .π316 D .π3326.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是空气 质量合格,下面四种说法不.正确..的是( )A .1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B .第二季度与第一季度相比,空气质量合格天数的比重下降了C .8月是空气质量最好的一个月D .6月的空气质量最差7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的( )A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要8.设x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z +=的取值范围是( )A .[]3,5-B .[]3,2C .[)+∞,2D . (]3,∞-9.设函数1sin )(22+=x xx xf,则)(x f y =,[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的( )ABCD10.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若1a =,23c =,sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则sin C =( ) A .37B .217C .2112D .195711.如图示,三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形,︒=∠90ACB ,且2===AB PB PA ,3=PC ,则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于( )A .31B .36C .33 D .32 12.在ABC ∆中,2=AB ,3=AC ,︒=∠60A ,O 为ABC ∆的外心,若AC y AB x AO +=,R y x ∈,,则=+y x 32( )A .2B .35C .34 D .23二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160,则=a _______.14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0>x 时,x x x f 2)(2-=,则不等式x x f >)(的解集为__________.15.若对任意R x ∈,不等式0≥-kx e x 恒成立,则实数k 的取值范围是 .16.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为A ,延长2AF交椭圆C 于点B ,若△1ABF 为等腰三角形,则椭圆的离心率=e ______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题 考生都必须作答.第22、23为选考题,考生仅选一个作答.17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列,其前n 项和为n S ,11=a ,若1a ,2a ,5a 成等比数列.(Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)设*)(1121N n a b n n ∈-=+,设数列{}n b 的前n 项和n T ,证明:41<n T . 18.2019年6月,国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ,我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿,2019年8月, 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,样本中各类用户分布情况如下:中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较,可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).(Ⅰ)从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率;(Ⅱ)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以X表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)2019年底,从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐,能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由.19.如图示,在三棱锥BCDA-中,2===BDBCAB,32=AD,2π=∠=∠CBDCBA,点E为AD的中点.(Ⅰ)求证:平面ACD⊥平面BCE;(Ⅱ)若点F为BD的中点,求平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值.20.已知椭圆12222=+byax(0>>ba)经过点)1,0(,离心率为23,A、B、C为椭圆上不同的三点,且满足=++,O为坐标原点.(Ⅰ)若直线AB、OC的斜率都存在,求证:OCABkk⋅为定值;(Ⅱ)求AB的取值范围.21.设函数axxexf x--=221)(,Ra∈.(Ⅰ)讨论)(xf的单调性;(Ⅱ)1≤a时,若21xx≠,2)()(21=+xfxf,求证:021<+xx.EFCB(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (Ⅰ)求l 的普通方程及C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围. 23.已知a x x x f ++-=1)(,R a ∈.(Ⅰ) 若1=a ,求不等式4)(>x f 的解集; (Ⅱ))1,0(∈∀m ,R x ∈∃0,不等式)(1410x f mm >-+成立,求实数a 的取值范围.理科参考解答13.2 14.()),3(0,3+∞-Y15.[]e ,0 1 6.33三、填空题17.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=…………6分(Ⅱ)因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n …10分()411414111141<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n T n ……12分18.解:(Ⅰ)由题意可知,从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率,即2705300.81000+=.……2分(Ⅱ)由题意X 的所有可能值为0,1,2,……3分记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”, 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”, 由题意可知,事件A ,B 相互独立,且()140%0.6P A =-=,()145%0.55P B =-=, 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=,(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=,(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=, ……6分所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.……8分(Ⅲ)设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G 套餐”,则327031000()0.02C P D C =≈.……10分回答一:事件D 虽然发生概率小,但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二:事件D 发生概率小,所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19.(Ⅰ)证明:(第一问6分,证明了AD BC ⊥给4分)ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC ADBE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫==⊥⇒=∠=∠I 2π(Ⅱ)解:以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则()0,0,2=→BC ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→23,21,0BE ,()0,1,2-=→CF ,()3,2,0=→BF设面BCE 的一个法向量()1111,,z y x n =→,⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BE n BC n 11⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒0232102111z y x ()1,3,0111-=−−→−→=n z 令…9分同理可得平面ACF 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,3,232n …10分31315,,cos 222222=⋅=><n n n n n n .……11分故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为31315.……12分20.(Ⅰ)证明:依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a , 所以椭圆方程为1422=+y x .…2分设()11,y x A ,()11,y x B ,()11,y x C , 由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=-又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ,……4分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分(Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时:1212313,02,0=+=⇒=-=x x y y x x y1131,||3;2⇒=±=±⇒=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时,设直线为t kx y +=,这里0≠t由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x t kx y ()22222418440041;,∆>=>++-⇒++k x kt t t k x ……8分 222228211,44,;4141-⎛⎫⇒⇒ ⎪⎝≥+-+⎭=k t t ktt C k k 代入椭圆方程:()()(22221222216419||=1||133,23;441-+⎤+-=+=+∈⎦+k t AB k x x k tk……11分综上,AB 的范围是[]32,3. ……12分21. 解:(Ⅰ)a x e x f x--=')(,令)()(x f x g '=.……1分则1)(-='xe x g ,令01)(=-='xe x g 得0=x .当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减;当),0(+∞∈x 时, ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增.所以a g x g -==1)0()(min .……3分当1≤a 时,01)(min ≥-=a x g , 即0)()(≥'=x f x g ,则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时,01)(min <-=a x g ,易知当-∞→x 时,+∞→)(x g ;当+∞→x 时,+∞→)(x g ,由零点存在性定理知,21,x x ∃,不妨设21x x <,使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时,0)(>x g ,即 0)(>'x f ; 当),(21x x x ∈时,0)(<x g ,即 0)(<'x f ; 当),(2+∞∈x x 时,0)(>x g ,即 0)(>'x f .所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增,在),(21x x 单调递减. ……6分(Ⅱ)证明:构造函数2)()()(--+=x f x f x F ,0≥x .22121)(22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-ax x e ax x e x F x x ,0≥x . 22--+=-x e e x xx e e x F x x 2)(--='-0222)(=-⋅≥-+=''--x x x x e e e e x F (当0=x 时取=).所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增,则0)0()(='≥'F x F , 所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增,0)0()(=≥F x F .……9分这里不妨设02>x ,欲证021<+x x , 即证21x x -< 由(Ⅰ)知1≤a 时,)(x f 在R 上单调递增,则有)()(21x f x f -<,由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= ,即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增,且02>x 时, 有02)()()(222>--+=x f x f x F ,故2)()(22>-+x f x f 成立,从而021<+x x 得证. ……12分 22.【解】(Ⅰ )直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数), 消去参数t 可得l0y -+=;曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=,可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.…………5分(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d ==所以点P 到l的距离的取值范围是1⎤⎥⎣⎦.………………10分23、解: (Ⅰ)当1=a 时,⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ,或⎩⎨⎧><<-4211x ,或⎩⎨⎧>--≤421x x ……4分2>⇔x ,或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞Y ; (5)(Ⅱ)因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ,[]m mm m m m m m m m -+-+=-+-+=-+1145)1()141(141911425=-⋅-+≥m mm m (当31=m 时等号成立)……8分依题意,)1,0(∈∀m ,R x ∈∃0,有)(1410x f m m >-+则有91<+a 解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分。