2021年高三数学二模试题理新人教A版考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合，，则中元素的个数为A．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.A． B. C. 1 D. 63. 已知等差数列的公差是2，若成等比数列，则等于A. B. C. D.4. “是“直线与圆相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 总数s A. B. C. D.6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C.D.7. 已知函数（R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在上与函数的单调性相同的是 A. B. C. D.8. 已知四面体满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体的体积的取值集合是侧 视图俯视图A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则_______, .11. 在中，若，，，则边__________.12.如图,在菱形中,,, 为的中点,则的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线被直线分成两个区域（包括边界）， 圆（1）若，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)BCDEAMBODPCNA已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数的解析式； （II ）求函数 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. （I ） 求证：；（II ）求二面角的余弦值；（III）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；(II) 在（I）的条件下，求函数的单调区间；(III) 若恒成立，求实数a的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.（I）求椭圆的标准方程；(II) 已知直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的动点.（i）若直线的斜率都存在，证明：;(ii) 若，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交于点（异于点），求证：,,三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第行，第列的数记作,，如.(II) 若求的值；(只需写出结论)（III）设， (), 记数列的前项和为,求；并求正整数，使得对任意，均有．昌平区xx年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. ,三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)解：（I）由题意可知，,，得,，解得.，即，，所以，故. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636 g x x x=π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x xx-x=x=π-由故.……………13分16. (本小题满分13分)解：（I）设事件：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有人．则．解得．所以．…………… 4分（II）设事件：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则．……………7分（III）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以，，，．所以的分布列为所以1721721012312040402410E=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故.又因为所以,即,所以四边形是平行四边形.所以故.因为平面平面, 平面平面,平面所以平面.因为平面, 所以.因为, 、平面,所以平面. ……………5分(II) 以为轴, 为轴, 为轴建立空间直角坐标系，则, , , .平面的法向量为.设平面的法向量为, 因为，,, 令得, .所以, 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. ……………10分(III) 存在点P,使得平面. ……………11分法一: 取线段中点P，中点Q，连结.则，且.又因为四边形是平行四边形，所以.因为为的中点，则.所以四边形是平行四边形，则.又因为平面,所以平面.所以在线段上存在点，使得平面，. ……………14分法二：设在线段上存在点，使得平面,设,(),，因为.所以.因为平面, 所以,所以, 解得, 又因为平面,所以在线段上存在点，使得平面，．……………14分xyE CDMB1z18.（本小题满分13分）解：（I）定义域为依题意，.所以，解得……………4分（II）时，，定义域为，当或时,，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.----8分（III）解法一：由，得在时恒成立，令，则令，则在为增函数， .故，故在为增函数. ，所以，即实数的取值范围为. ……………13分解法二：令，则，（i）当，即时，恒成立，在上单调递增，，即，所以；(ii)当，即时，恒成立，在上单调递增，，即，所以；(iii)当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，当时，，在上单调递增，则，即，所以；若，的两个根，，且在是连续不断的函数所以总存在，使得，不满足题意.综上，实数的取值范围为. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为，则，解得，所以.故椭圆的标准方程为. ……………5分（Ⅱ）(i)证明：设，则两式作差得.因为直线的斜率都存在，所以.所以，即.所以，当的斜率都存在时， . ……………9分(ii) 证明：时， .设的斜率为，则的斜率为，直线，，直线, ，所以直线，直线，联立，可得交点.因为，所以点在椭圆上.即直线与直线的交点在椭圆上，即，，三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I）， . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50，b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数，所以b n =( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) = 4 n2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…；精品文档实用文档 因为 所以，故.…………10分因为 ；当时，，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得，所以当时，，综上对任意恒有，故．…………13分40587 9E8B 麋39417 99F9 駹25937 6551 救s33250 81E2 臢23343 5B2F 嬯V 31464 7AE8 竨28170 6E0A 渊22365 575D 坝$.27446 6B36 欶|。