第20练 导数中的易错题一、选择题1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π3]B ．[π3，π2)C ．(π2，2π3]D ．[π3，π)2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( )A ．6x －y －4＝0B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝03．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4]4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)5．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．1<a <4C ．2<a <4D ．a >4或a <16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2)D ．(3，2)7．如果函数f (x )＝13x 3－x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a 2恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－63，63] B ．[－233，233]C ．(－∞，－63]∪[63，＋∞) D ．(－∞，－233]∪[233，＋∞)8．(优质试题·景德镇质检)已知f (x )＝ax ＋a －2x＋2－2a (a >0)，若f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)二、填空题9．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________________．10．函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈[π4，π3]，若∀x 1，x 2∈[π4，π3]，x 1≠x 2，f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有3个单调区间，则a 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ex1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________.答案精析1．B [根据已知可得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥3，结合正切函数的图象，可知α∈[π3，π2)，故选B.]2．D [由于点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则a ＝2，即y ＝2x 3，所以y ′＝6x 2.若点A 为切点，则切线斜率为6，若点A 不是切点，设切点坐标为(m,2m 3)，则切线的斜率为k ＝6m 2.由两点的斜率公式，得2m 3－2m －1＝6m 2(m ≠1)，即有2m 2－m －1＝0，解得m ＝1(舍去)或m ＝－12.综上，切线的斜率为k ＝6或k ＝6×14＝32，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程为y －2＝6(x －1)或y －2＝32(x －1)，即6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0.故选D.]3．A [由题意，得y ＝1x .设点P (x 0，y 0)(x 0>0)，y 0＝1x 0，y ′＝－1x2，因此切线的斜率k ＝－1x 20，切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．当x ＝0时，y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；当y ＝0时，x ＝x 20y 0＋x 0＝2x 0，因此S △OAB ＝12xy ＝2为定值．故选A.]4．B [∵f (x )＝2x 2－ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x(x >0)，由f ′(x )＝0，得x ＝12，当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0；当x ∈(12，＋∞)时，f ′(x )>0，据题意，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.]5．B [y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a >0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1<a <2，即1<a <4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．] 6．D [由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a )2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f ′(－1)＝3－2a ＋1>0，f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.]7．D [∵f ′(x )＝x 2－1，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝13x 3－x 在x ＝1时取到极小值，也是x ∈[0,2]上的最小值，∴f (x )极小值＝f (1)＝－23＝f (x )最小值，又∵f (0)＝0，f (2)＝23，∴在x ∈[0,2]上，f (x )最大值＝f (2)＝23，∵对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，∴都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a 2恒成立，∴只需a 2≥|f (x )最大值－f (x )最小值|＝23－(－23)＝43即可，∴a ≥233或a ≤－233.故选D.]8．B [f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，即f (x )－2ln x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝f (x )－2ln x ＝ax ＋a －2x ＋2－2a －2ln x ，则g ′(x )＝a －a －2x 2－2x＝(x －1)(ax ＋a －2)x2. 令g ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝2－a a .由于g (1)＝0，a >0，因此2－a a ≤1(否则2－aa是g (x )的极小值点，即g (2－a a)<g (1)＝0)，所以a ≥1.故选B.]9．(－∞，2－1e )∪(2－1e，2)解析 f ′(x )＝1x＋a (x >0)．∵函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴方程1x ＋a ＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解，∴a <2.若直线2x －y ＝0与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0,2x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝2，2x 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2－1e )∪(2－1e ，2)．10．(－∞，－32] 解析 由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0知，函数f (x )在[π4，π3]上是减函数．又f ′(x )＝a ＋sin x ，所以f ′(x )≤0在[π 4，π3]上恒成立，即a ≤－sin x 在[π4，π3]上恒成立．当π4≤x ≤π3时，－32≤－sin x ≤－22， 故－sin x 的最小值为－32，所以a ≤－32. 11．(－∞，0)解析 由f (x )＝ax 3＋x ，得f ′(x )＝3ax 2＋1.若a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a <0，由f ′(x )>0得－－13a<x <－13a ，由f ′(x )<0，得x <－－13a 或x >－13a，即故当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－－13a，－13a )，单调递减区间为(－∞，－－13a), ( －13a，＋∞)，满足题意． 12．(0,1]解析 f ′(x )＝e x (1＋ax 2)－2ax e x (1＋ax 2)2＝e x (1＋ax 2－2ax )(1＋ax 2)2，由题意f (x )为R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在R 上恒成立．又a >0，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，解得0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.。