一、选择题1.已知定义在()1,+∞上的函数()f x ,()f x '为其导函数,满足()()1ln 20f x f x x x x++=′,且()2f e e =-,若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[),e +∞B .()2,2e -C .(),2e -D .[),e -+∞2.已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++,则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是( )A .(1)(1,)-∞-⋃+∞,B .(1,+)∞C .1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D .(,2)(1,)-∞-+∞3.已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象(如图所示)与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0),若3-和3是函数()f x 的两个零点,则不等式()0f x >的解集( )A .(-∞,2)(2-⋃,)+∞B .(-∞,3)(3-,)+∞C .(-∞,3)(0-⋃,2)D .(3-,0)(3⋃,)+∞4.直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+,ln y x x =+相交于A ,B 两点,则AB 的最小值为() A .1B .2C 2D 35.若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增,则实数k 的取值范围是( ) A .2(,]e -∞B .(,1]-∞C .[1,)+∞D .2[,)e+∞6.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间,则实数a 的取值范围为( ) A .1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C .1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x ',满足()()f x f x <', 且(1)y f x =+为偶函数,(2)1f =,则不等式()x f x e <的解集为( )A .4(,)e -∞B .4(,)e +∞C .(,0)-∞D .(0,)+∞8.已知f (x )=-x 3-ax 在(-∞,-1]上递减,且g (x )=2x-ax在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a 的取值范围是( ) A .2a >-B .3a -≤C .32a -≤<-D .32a --≤≤9.已知函数2()cos sin 2f x x x =,若存在实数M ,对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为( )A B C D 10.已知函数()24ln f x ax ax x =--,则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是( ) A .1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B .1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C .1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭D .11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭11.对*n N ∈,设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根,[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=,其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数,则2320202019a a a ++=( )A .1011B .1012C .2019D .202012.已知函数()3242xx f x x x e e=-+-,其中e 是自然对数的底数,若()()2210f a f a +--≤,则实数a 的取值范围为( )A .1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[]2,1-D .[]1,2-二、填空题13.已知函数1()cos ,()(0)2axf x xg x e a a π==-+≠,若1x ∃、2[0,1]x ∈,使得()()12f x g x =,则实数a 的取值范围为________.14.已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数,则实数a 的取值范围是________.15.如果圆柱轴截面的周长l (单位:cm )为定值,则体积最大值为____________3cm . 16.现有一块边长为3的正方形铁片,在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒,则该方盒容积的最大值是______.17.已知函数()()2ln 2f x x x g x x x a ==-++,,若∀x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 1)≥g(x 2)恒成立,则实数a 的取值范围为__________18.已知函数()xf x e =,()g x ex =,若存在12,x x R ∈,使得()()12f x g x m ==,则21x x -的最小值为______.19.设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ,若对于任意[1,1]x ∈-,都有()0f x ≥成立,则实数a 的取值范围是_________.20.设函数()2()1xf x x e =-,当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,则a 的取值范围是________.三、解答题21.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ,大棚II 内的地块形状为CDP ,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜,大棚II 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 22.设f (x )=x 3+ax 2+bx +1的导数f ′(x )满足f ′(1)=2a ,f ′(2)=-b ,其中常数a ,b ∈R. (1)求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)设g (x )=f ′(x )e -x ,求函数g (x )的极值. 23.已知函数f(x)=12x 2+lnx. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:当x>1时,12 x 2+lnx<23x 3. 24.已知函数()2xf x e x a =-+,x ∈R ,曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.(1)求,a b ,并证明()2f x x x ≥-+;(2)若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立,求实数k 的取值范围.25.已知二次函数f (x )的最小值为-4,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R}.(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数g (x )=()f x x-4ln x 的零点个数. 26.已知函数:()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=--. (1)当[]1,x e ∈时,求()f x 的最小值;(2)对于任意的1[0,1]x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】利用导数的运算法则,求出函数()f x 的解析式,然后参数分离,将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性,进而求出函数的最大值,从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′, ()2ln f x x x C ∴+=, ()2ln f e e e C ∴+=,()2f e e =-,∴22e e C -+=,解得0C =,()2ln 0f x x x ∴+=,()2ln x f x x∴=-()1x >,不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立, 令()ln x g x x =-,则()()21ln ln x g x x -=′,令()()21ln 0ln xg x x -==′,解得x e =,∴1x e <<时,()0g x '>,()g x 在()1,e 上单调递增;x e >时,()0g x '<,()g x 在(),e +∞上单调递减,∴当x e =时,()g x 取得极大值,也是最大值,()()max ln eg x g e e e==-=-, a e ∴≥-,∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选:D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题,具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题,求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键,属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想,常见的有:()f x a >恒成立⇔()min f x a >;()f x a <恒成立⇔()max f x a <;()f x a >有解⇔()max f x a >;()f x a <有解⇔()min f x a <;()f x a >无解⇔()max f x a ≤;()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 2.D解析:D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,由此列不等式组,解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >,故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >,且()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,且当1x >时,令22x x y -=+,'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭,所以22x x y -=+在1x >时递增,根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增,所以函数()f x 在1x >时递增,故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩,解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,考查利用导数判断函数的单调性,考查函数不等式的解法,属于中档题.3.B【分析】根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值,进而求得原函数的单调性,再结合()f x 的零点画出()f x 的简图,进而求得不等式()0f x >的解集.【详解】由图,当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>,故()0f x '<,()f x 为减函数; 当()2,0x ∈-时()0xf x '<,故()0f x '>,()f x 为增函数; 当()0,2x ∈时()0xf x '<,故()0f x '<,()f x 为减函数; 由图,当()2,x ∈+∞时()0xf x '>,故()0f x '>,()f x 为增函数; 又3-和3是函数()f x 的两个零点,画出()f x 的简图如下:故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.故选:B 【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像,分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.4.B解析:B 【分析】设A (a ,2 a+1),B (a ,a+lna ),求出|AB |,利用导数求出|AB |的最小值. 【详解】设A (a ,2a+1),B (a ,a+lna ),∴|AB |=211a a lna a lna +-+=+-(), 令y 1x lnx =+-,则y ′=11x-, ∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x =1时,函数y 的最小值为20>,∴|AB |=2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-(),其最小值为2.故选B .本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力及转化思想,利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键.5.C解析:C 【分析】求出函数导数,由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立,利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--,由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立,即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立,令ln 1()x g x x+=,则2ln ()x g x x -'=, 当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增;当(1,]x e ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减,所以max ()(1)1g x g ==,故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值,属于基础题.6.C解析:C 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间,则()f x 单调递减,利用()f x 的导数恒小于零列不等式,将不等式分离常数后,利用配方法求得常数a 的取值范围,再取这个取值范围的补集,求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间,则函数()f x 单调递减, 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立, 可得2112a x x ≤-,则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭,可得18a ≤-,故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式恒成立问题的求解策略,属于中档题.7.D解析:D 【详解】()()()()()0()x xf x f x f xg x g x g x e e '-'=∴=<∴单调递减(1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选:D8.C解析:C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立,求出a 的范围,再由()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点,求出a 的范围,综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减,所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立,得23,3x a a -≤∴≥-, 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值,又有最小值, 所以,可知()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点, 也就是极值点,即有解220ax x+=,在(]1,2上解得32a x =-, 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-,故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 9.C解析:C 【分析】令2sin t x =,则[]0,1t ∈,设()()31h t t t =-,则()2()f x h t =,利用导数可求()max 27256h t =,从而得到()f x 的最值,故可得M 的取值范围,从而得到正确的选项. 【详解】3()2cos sin f x x x =,故622()4cos sin f x x x =,令2sin t x =,则[]0,1t ∈,设()()31h t t t =-,则()2()4f x h t =,又()()()()()322131114h t t t t t t '=---=--, 若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0h t '>,故()h t '在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数;若1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0h t '<,故()h t '在1,14⎛⎤⎥⎝⎦为减函数; 故()max 27256h t =,故2max 27()64f x =,所以max ()8f x =,min ()8f x =-,当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取最大值,当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取最小值,故M ≥M故选:C. 【点睛】本题考查与三角函数有关的函数的最值,注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数,后者可以利用导数来讨论,本题属于中档题.10.C解析:C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax fxx,令2241g xax ax ,然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点,最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论,即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=, 若()f x 在()1,3上不单调, 令2241g xax ax ,对称轴为1x =,则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点,当0a =时,显然不成立;当0a ≠时,则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩,解得16a >或12a <-,易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭, 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数单调性问题,若函数在否个区间内不单调,则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴,考查二次函数性质的应用,考查充分条件与必要条件的判定,是中档题.11.A解析:A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-,求得函数的导数,判断函数的导数,求出方程根的取值范围,进而结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-,则()232f x nx '=+,当n 时正整数时,可得()0f x '>,则()f x 为增函数, 因为当2n ≥时,()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++, 且()120f =>,所以当2n ≥时,方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+, 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=, 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选:A. 【点睛】方法点睛:构造新函数()32f x nx x n =+-,结合导数和零点的存在定理,求得当2n ≥时,方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 12.A解析:A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数,把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+,再利用导数求得函数的单调性,在把不等式转化为221a a ≤+,即可求解.【详解】 由题意,函数32()42x x f x x x e e =-+-的定义域为R , 又由3322()42e (42)()e x x x x f x x x x x e f x e-=-++-=--+-=-, 所以()f x 是R 上的奇函数,又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥, 当且仅当0x =时取等号,所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数,因为()22(1)0f a f a +--≤,可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+, 所以221a a ≤+,解得112a ≤≤, 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:A【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略:1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义.具体步骤:①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式;②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如:“12x x >”或“12x x <”的常规不等式,从而得解.2、利用函数的图象研究不等式,当不等式问题不能用代数法求解时,常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题,从而利用数形结合求解. 二、填空题13.【分析】根据余弦型函数的性质求出当时函数的值域分类讨论利用指数型函数的性质求出函数在时的值域然后根据存在的定义进行求解即可【详解】因为所以因此在时单调递减所以有当时函数是单调递增函数当时即因为使得所 解析:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据余弦型函数的性质求出当1[0,1]x ∈时,函数()1y f x =的值域,分类讨论利用指数型函数的性质,求出函数()2y g x =在2[0,1]x ∈时的值域,然后根据存在的定义进行求解即可.【详解】因为1[0,1]x ∈,所以1[0,]x ππ∈,因此1()f x 在1[0,1]x ∈时,单调递减,所以有11(1)()(0)1()1f f x f f x ≤≤⇒-≤≤.当0a >时,函数1()2ax g x e a =-+是单调递增函数,当2[0,1]x ∈时, ()2(0)(1)g g x g ≤≤,即231()22a a g x e a -≤≤-+, 因为1x ∃、2[0,1]x ∈,使得()()12f x g x =, 所以有:()3121112a a e a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩, 令'1()(0)()12a a h a e a a h a e =-+>⇒=-, 因为0a >,所以'()0h a >,因此函数 ()h a 单调递增, 所以有3()(0)2h a h >=,因此不等式组(1)的解集为:12a ≥,而0a >,所以12a ≥; 当0a <时,函数1()2ax g x e a =-+是单调递减函数,当2[0,1]x ∈时, ()2(1)(0)g g x g ≤≤,即213()22a e a g x a -+≤≤-, 因为1x ∃、2[0,1]x ∈,使得()()12f x g x =, 所以有()1122312a e a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩:, 令'1()(0)()12a a h a e a a h a e =-+<⇒=-, 因为0a <,所以'()0h a <,因此函数 ()h a 单调递减, 所以有3()(0)2h a h >=,因此不等式组 (2)的解集为空集, 综上所述:12a ≥. 故答案为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛:根据不等式112a e a -+≥构造新函数,利用导数求出新函数的最小值是解题的关键.14.【分析】利用在上恒成立等价于在上恒成立利用正弦函数的性质得出在的最小值即可得出的范围【详解】在上恒成立即在上恒成立则故答案为:【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围属于中档题解析:[)1,-+∞【分析】利用()0f x '≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,利用4x π⎛⎫+⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值,即可得出a 的范围. 【详解】()(sin )cos (sin cos )04x x x x f x e x a e x e x x a e x a π⎤⎛⎫'=++=++=++≥ ⎪⎥⎝⎭⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,3,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin 4x π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭ 则1,1a a ≥-≥-故答案为:[)1,-+∞【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围,属于中档题.15.【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得:令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是:故答案为:【点睛解析:3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高,求出体积表达式,通过求导求出体积的最大值.【详解】设圆柱底面半径R ,高H ,圆柱轴截面的周长l 为定值,则42R H l +=22l H R ∴=- 22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得:26V Rl R ππ'=-令0V '=,可得260Rl R ππ-=,(6)0R l R π∴-=60l R ∴-=6l R ∴=当6l R >时,(6)0V R l R π'=-< 当6l R <时,(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时,圆柱体积的有最大值,圆柱体积的最大值是:32322216l l V R R πππ=-= 故答案为:3216l π. 【点睛】本题主要考查了根据导数求最值,解题关键是掌握根据导数求最值的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得:方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为:2【点 解析:2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形,边长为32x -,高为x ,建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<,再用导数法求解最值. 【详解】 由题意得:方盒底面是正方形,边长为32x -,高为x ,所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<, 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 当102x <<时,0V '>,1322x <<时,0V '<,所以当12x =时,V 取得最大值,最大值为2. 故答案为:2【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 17.【分析】求导后即可求得根据二次函数的性质可得再由恒成立问题的解决方法可得即可得解【详解】求导得则当时函数单调递减;当时函数单调递增;所以;函数为开口向下对称轴为的二次函数所以当时;由题意可知即故答案 解析:11a e≤-- 【分析】求导后即可求得()()11f x f e e --≥=-,根据二次函数的性质可得()()11g x g a ≤=+,再由恒成立问题的解决方法可得11a e -+≤-,即可得解.【详解】求导得()ln 1f x x '=+,则当()10,x e -∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减; 当()1,x e -∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增;所以()()11f x f e e --≥=-; 函数()22g x x x a =-++为开口向下,对称轴为1x =的二次函数,所以当()0,x ∈+∞时,()()11g x g a ≤=+;由题意可知11a e -+≤-即11a e -≤--.故答案为:11a e -≤--.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题,考查了推理能力,属于中档题.18.【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查根据题目条件构 解析:ln 22【分析】由()()12f x g x m ==,可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e-=-,设()2ln x h x x e=-,即求函数()h x 的最小值,求导得出单调性即可得到答案. 【详解】由()()12f x g x m ==,即1x e m ==且0m >.所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e-=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x e h x x e x ex-'=-=. 令()0h x '>,得x >,令()0h x '<,得0x <<所以函数()h x在0⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.则函数()h x的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22 故答案为:ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数,利用导数求函数的最小值,属于中档题. 19.【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解:由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为:【点睛】考查学生理解函 解析:15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值,讨论函数的增减性得到()f x 的最小值,让最小值大于等于0即可求出a 的范围.【详解】解:由(1)0f ≥可得1a ≥,2'()33f x ax =-,当1a ≥时,令2'()330f x ax =-=解得x =,且1>-< ①当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数, ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数, ③1x <<时,()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩,即3320320a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩,解得15a ≤≤.故答案为:15a ≤≤.【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力,以及利用导数求函数最值的能力.20.【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得(负根舍去)所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为: 解析:[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率,结合图像,求得a 的取值范围.【详解】函数()2()1x f x x e =-,()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>,()01g =.()()'221,0x f x x x e x =--+⋅≥,令'0f x ,解得021x =-(负根舍去),所以()f x 在()00,x 上递增,在()0,x +∞上递减,画出()f x 的图像如下图所示.由图可知,要使当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f =,所以1a ≥.故答案为:[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.三、解答题21.(1)()8004cos cos sin θθθ+, ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭;(2)6π. 【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定sin θ的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调性确定函数最值取法.详解:解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH =10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ,故OE =40cos θ,EC =40sin θ,则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ),△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40–40sin θ)=1600(cos θ–sin θcos θ). 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK =KN =10. 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6). 当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sin θ的取值范围是[14,1). 答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为1600(cos θ–sin θcos θ),sin θ的取值范围是[14,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k >0),则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ)=8000k (sin θcos θ+cos θ),θ∈[θ0,π2). 设f (θ)= sin θcos θ+cos θ,θ∈[θ0,π2), 则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+. 令()'=0f θ,得θ=π6, 当θ∈(θ0,π6)时,()'>0f θ,所以f (θ)为增函数;当θ∈(π6,π2)时,()'<0fθ,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.22.(1)6x+2y-1=0.;(2)15e-3.【解析】试题分析:(I)根据已知中f(x)=x3+ax2+bx+1,我们根据求函数导函数的公式,易求出导数f'(x),结合f'(1)=2a,f'(2)=﹣b,计算出参数a,b的值,然后求出f(1)及f'(1)的值,然后代入点斜式方程,即可得到曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(II)根据g(x)=f′(x)e﹣1求出函数g(x)的解析式,然后求出g(x)的导数g'(x)的解析式,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数g(x)的极值.解:(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f'(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b=2a,解得b=﹣3令x=2,得f'(2)=12+4a+b=﹣b,因此12+4a+b=﹣b,解得a=﹣,因此f(x)=x3﹣x2﹣3x+1∴f(1)=﹣,又∵f'(1)=2×(﹣)=﹣3,故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣(﹣)=﹣3(x﹣1),即6x+2y﹣1=0.(II)由(I)知g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x从而有g'(x)=(﹣3x2+9x)e﹣x令g'(x)=0,则x=0或x=3∵当x∈(﹣∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,3)时,g'(x)>0,当x∈(3,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0时取极小值g(0)=﹣3,在x=3时取极大值g(3)=15e﹣3点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及方程组的求解等有关问题,属于中档题.23. (1) f(x)的单调增区间为(0,+∞) (2)略【分析】(1)对函数求导,根据定义域,即可判断其单调性,从而知单调区间.(2)证明当x>1时,2312ln 23x x x +<,只需证当x>1时,3221ln 032x x x -->, 可设3221()ln 32g x x x x =--,只需证明1x >时,()0>g x ,因此,利用导数研究()g x 的单调性,得出()(1)0g x g >>,结论得证.【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0},∵f′(x)=x +,故f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞).(2)设g(x)=x 3-x 2-lnx ,∴g′(x)=2x 2-x -,∵当x>1时,g′(x)=>0,∴g(x)在(1,+∞)上为增函数,∴g(x)>g(1)=>0,∴当x>1时, x 2+lnx<x 3.【点睛】(1)求函数的单调区间,首先要考虑函数的定义域,然后求导,导函数大于0,可求单调递增区间,导函数小于0,可求单调递减区间.对于单调函数只需说明导函数大于0(小于0)即可.(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立,解题时可转化为求函数最值(或值)的问题处理.24.(1)1a =-,1b =,证明见解析;(2)(),2e -∞-.【分析】(1)先求出()21x f x e x =--,则()()21xg x f x x x e x =+-=--,利用导数求出()()min 00g x g ==,不等式即得证;(2)价于()f x k x >对任意的0,恒成立,令()()f x x xϕ=,0x >,求出函数()y x ϕ=的最小值即得解.【详解】(1)根据题意,函数()2x f x e x a =-+,则()2xf x e x '=-,则()01f b '==, 由切线方程y bx =可得切点坐标为()0,0,将其代入()y f x =,解得1a =-, 故()21x f x e x =--,则()()21xg x f x x x e x =+-=--, 则()10xg x e '=-=,得0x =, 当(),0x ∈-∞,0g x,函数y g x 单调递减; 当()0,x ∈+∞,0g x ,函数y g x 单调递增;所以()()min 00g x g ==,所以()2f x x x ≥-+.(2)由()f x kx >对任意的当()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的0,恒成立, 令()()f x x xϕ=,0x >, 得()()()()()()()22222111x x xx e x e x x e x xf x f x x x x xϕ-------'-'===, 由(1)可知,当()0,x ∈+∞时,10x e x -->恒成立, 令()0ϕ'>x ,得1x >;()0ϕ'<x ,得01x <<, 所以()y x ϕ=的单调增区间为1,,单调减区间为0,1,故()()min 12x e ϕϕ==-,所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25.(1)f (x )=x 2-2x -3;(2)1个. 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集,可设f (x )=a (x +1)(x -3),再结合f (x )的最小值为-4即可求出a 的值,得到函数f (x )的解析式;(2)对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间,在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】(1)∵f (x )是二次函数,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R}, ∴设f (x )=a (x +1)(x -3)=ax 2-2ax -3a ,且a >0. ∴f (x )min =f (1)=-4a =-4,a =1. 故函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-2x -3.(2)由(1)知g (x )=223x x x---4ln x =x -3x -4ln x -2,∴g (x )的定义域为(0,+∞),g ′(x )=1+23x -4x=2(1)(3)x x x --, 令g ′(x )=0,得x 1=1,x 2=3.当x 变化时,g ′(x ),g (x )的取值变化情况如下表:g (x ) 极大值 极小值当x >3时,g (e 5)=e 5-53e-20-2>25-1-22=9>0. 又因为g (x )在(3,+∞)上单调递增, 因而g (x )在(3,+∞)上只有1个零点, 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用.26.(1)答案见解析;(2)2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【分析】(1)求导,对参数进行分类讨论,根据不同情况下函数的单调性,即可求得函数的最小值;(2)根据题意,求得不同情况下()f x 的值域,结合其值域为()f x 的子集,列出不等式,则问题得解. 【详解】(1)()2x af x x-'=1a ≤时,[]()()1,,0,x e f x f x '∈≥递增,()()min 112f x f a ==-, 2a e ≥时,[]()()1,,0,x e f x f x '∈≤递减,()()2min22e f x f e a ==-,21a e <<时,x a ⎡∈⎣时()0,()f x f x '<递减, ,x a e ⎡⎤∈⎣⎦时()0,()f x f x '>递增, 所以()min ln 22a af x fa a ==-- 综上,当min 11,()2a f x a ≤=-; 当()2min 1ln 22a aa e f x a <<=--, 当()22min 22e a ef x a ≥=-,(2)因为对于任意的1[0,1]x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立, 所以()[],0,1g x x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集.因为()1xg x e '=-[0,1],()0,()x g x g x '∈≥递增,()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦(i )当1a ≤时,()f x 在[]1,e 上单调递增,又()()211,222e f a f e a =-=-,所以()f x 在[1,e]上的值域为21[,2]22ea a --,所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩,即112a . (ii )当21a e <<时,因为x ⎡∈⎣时,()f x递减,x e ⎤∈⎦时,()f x 递增,且()10,0f f<<,所以只需()2f e e ≥-即2222e a e -≥-,所以21142e ea <≤-+ (iii )当2a e ≥时,因为()f x 在[1,]e 上单调递减,且()()1102f x f a ≤=-<, 所以不合题意.综合以上,实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查求含参函数最值得求解,涉及利用导数求函数值域的问题,属综合中档题.。