一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞3．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤4．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1655．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ） A ．2B ．2C ．342+D ．322+6．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim 3x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．-4B ．4C ．-36D ．367．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．49．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．设函数()()23xf x x e =-，则（ ）A ．()f x 有极大值，且有最大值B ．()f x 有极小值，但无最小值C ．若方程()f x a =恰有一个实根，则36a e>D ．若方程()f x a =恰有三个实根，则360a e<<11．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞二、填空题13．()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '是导函数，且满足()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2f x x >的解集为__________.14．已知x y ，均为正实数.1x y +=.则1y x y+的最小值为________． 15．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____16．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 17．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．18．已知()32f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______19．已知函数()ln e xf x x ax =--在()1,2上不单调，则a 的取值范围是_________．20．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．三、解答题21．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.22．已知函数()(1)ln f x x x ax a =++-.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 23．已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R . （1）当a =2时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.24．已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（2）对x D ∈，如果函数()f x 的图象在函数()G x 的图象的下方，则称函数()f x 在区间D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间(1,)+∞上被函数32()3g x x =覆盖． 25．已知函数32()21f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由.26．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e '-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()x f x g x e =，所以，()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==， 解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.3．C解析：C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【详解】 解：函数sin ()cos x af x x+= 则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈上，2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增， 22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立，即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立，(0,)2x π∈上，sin (0,1)x ∈1a ∴-故选：C ． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =.所以12a b+的最小值是3+.故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ． 【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．D解析：D 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．8．B解析：B 【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点．9．C解析：C 【分析】 利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.10．D解析：D 【分析】先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程()f x a =的根的情形． 【详解】由题意2()(23)(1)(3)xxf x x x e x x e '=+-=-+，∴当3x <-或1x >时，()0f x '>，当31x -<<时，(00f x '<， ()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递增，在(3,1)-上递减． ()f x 极大值＝36(3)f e-=，()f x 极小值＝(1)2f e =-， 3x <-或3x >时，()0f x >，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，∴(1)f 也是最小值．()f x 无最大值． 作出()y f x =的图象，和直线y a =，如图， 当1a =或36a e >时，()f x a =有一个根，当360a e <<时，()f x a =有三个根．故选：D ．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．11．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.12．B解析：B 【分析】判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．【详解】()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞，函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，0211a ∴<+≤，解得：102-<≤a ．故选：B本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．二、填空题13．【分析】构造函数分析出函数为偶函数且在上为增函数将所求不等式变形为可得出可得出由此可解得原不等式的解集【详解】构造函数该函数的定义域为由于函数为偶函数则所以函数为偶函数当时则所以函数在上为增函数可得 解析：()(),11,-∞-+∞【分析】 构造函数()()2f x g x x=，分析出函数()g x 为偶函数且在()0,∞+上为增函数，将所求不等式变形为()()1g x g >，可得出()()1g x g >，可得出1x >，由此可解得原不等式的解集. 【详解】 构造函数()()2f x g x x=，该函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 由于函数()f x 为偶函数，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以，函数()g x 为偶函数.()()()()()24322x f x xf x x f x f x g x x x''⋅-⋅-'==， 当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，()11f =，可得()()21111f g ==，由()2f x x >可得()21f x x >，即()()1g x g >，所以，()()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2f x x >的解集为()(),11,-∞-+∞.故答案为：()(),11,-∞-+∞.【点睛】方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下： （1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性； （2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.14．【分析】均为正实数可得所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解【详解】因为所以所以令则令即解得此时单调递增令即解得此时单调递减所以时所以时的最小值为3故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数【分析】x y ，均为正实数，1x y +=，可得10x y =->，所以01y <<， ()11111y f y x y y y+=+-=-再利用导数研究单调性极值与最值即可求解. 【详解】因为1x y +=，所以1x y =-，所以()11111111111y y y x y y y y y y y--++=+=+=+----， 令()1111f y y y=+--， 则()()()222211211y f y y y y y -'=-+=--令()0f y '>，即210y ->，解得112y << ，此时()f y 单调递增， 令()0f y '<，即210y -<，解得102y <<，此时()f y 单调递减， 所以12y =时，()min 11131122f y =+-=，所以12x y ==时1y x y+的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.15．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关 解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立，所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===，()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<， 故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.16．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π【分析】 先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.17．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增， 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以21≥a x在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.18．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题 解析：3-【分析】 求出()'fx .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.【详解】()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，()()'10,11f f ∴==-，即32011a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.经检验，当1a b ==-时，()32f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.1a b ∴==-，23a b ∴+=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.19．【分析】由题意知函数在区间上存在极值点利用导函数在区间上单调可得出有关实数的不等式组解出即可【详解】则函数在上单调递减因为函数在上不单调所以在上有解所以解得因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题解析：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】由题意知，函数()y f x =在区间()1,2上存在极值点，利用导函数在区间()1,2上单调，可得出有关实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】()ln x f x x ax e =--，()1x f x a e x∴=--'，则函数()y f x ='在()1,2上单调递减， 因为函数()y f x =在()1,2上不单调，所以()0f x '=在()1,2上有解，所以()()21101202f a e f a e ⎧=-->⎪⎨=--<''⎪⎩，解得2112e a e -<<-. 因此，实数a 的取值范围是21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.20．【分析】先作函数图象结合图象分类确定最大值为1所满足的条件解得结果【详解】因为作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性最值零点时要注意用好其与图象的关系结合图象研究解析：13[,0]22⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：由图象得10013{0421021422a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】 （1）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x exϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增.又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x ex ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减； 当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x ex -=，知002ln x x -=-， 所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->， 即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22．（1）440x y --=；（2）2a ≥-. 【分析】（1）先写出当2a =时，()f x 解析式，再求导，根据导数的几何意义可得4k =切，再由点斜式写出切线的方程．（2）先求出()f x '，在求出()f x ''，通过分两种情况2a -，2a <-，讨论()f x ''的正负，进而得()f x '的增减性，推出()f x '最小值的范围，进而判断()0f x 是否恒成立，即可得出答案． 【详解】解（1）当2a =时，()(1)ln 22f x x x x =++-，1()ln 2x f x x x+'=++，(1)4f '=，所以切线斜率4k =，又(1)0f =，所以切线方程为4(1)y x =-，即440x y --=. （2）11()ln ln 1x f x x a x a x x +'=++=+++，22111()x f x x x x-''=-=. 当[1,)x ∈+∞时，()0f x ''≥，所以()'f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)2f x f a ''≥=+.①当20a +≥即2a ≥-时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，满足题意.②当20a +<即2a <-时，必存在0(1,),x ∈+∞当0[1,),()0x x f x '∈<，0(,),()0x x f x '∈+∞>，所以()f x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以min 0()()(1)0f x f x f =<=，所以()0f x ≥不恒成立，所以2a <-不满足题意.综上，a 的取值范围为2a ≥-. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．23．（1）函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞；（2）b ≤211e-；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）根据极值点得出1a =，再将题设不等式化为1ln 1x b x x≤+-，求出1ln ()1xg x x x=+-的最小值，即可得出实数b 的取值范围； （3）将1x y e >>-变形为ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=，结合分析法要证ln(1)ln(1)x yx ey -+>+只需证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++，构造函数()ln(1)x e h x x =+，利用导数证明其在(1,)e -+∞上是增函数，从而得出()()h x h y >，即ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.【详解】解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，其中0x > 所以121()2x f x x x-'=-= 令()0f x '<，则210x x -<，即102x << 令()0f x '>，则210x x ->，即12x > 所以函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞ （2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '= 又1()f x a x'=-，所以10a -=，1a = 因为()2f x bx -≥对x ∀∈(0，+∞)恒成立即()1ln 2f x x x bx =--≥-对x ∀∈(0，+∞)恒成立1ln 1x b x x≤+-对x ∀∈(0，+∞)恒成立令1ln ()1xg x x x=+-，则min ()b g x ≤22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，由()0g x '=得2x e = 所以()g x 在2(0,]e 上是递减，2[,)e +∞上是递增，所以()()22min 11g x g ee ==-所以b ≤211e - （3）因为1x y e >>-，所以+1+1x y e >>，ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+等价于ln(1)ln(1)x y e x e y +>+，即ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 要证明ln(1)ln(1)x yx ey -+>+，只要证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 令()ln(1)x e h x x =+，只要证明()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又21[ln(1)]1()ln (1)x e x x h x x +-+'=+，易知1ln(1)1x x +-+在(1,)e -+∞上是增函数 所以111ln(1)ln 101x e x e e+->-=->+，所以21[ln(1)]1()0ln (1)x e x x h x x +-+'=>+ 所以()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又1x y e >>-，所以()()h x h y >，即ln(1)ln(1)x ye e x y >++，所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+.【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调性的性质证明不等式. 24．（1）()2max 12e f x =+；()min 12f x =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数，判断函数的单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数3221()()()ln 032h x g x f x x x x =-=-->恒成立，即证明()min 0h x >. 【详解】（1）1()f x x x'=+当[1,e]x ∈时，()0f x '>，∴() f x 在[1,]e 递增()2max ()12e f x f e ==+ ()min 1(1)2f x f == （2）令3221()()()ln 32h xg x f x x x x =-=-- 21()2h x x x x'=-- ()()323232111x x x x x x x--==-+- ()21(1)21x x x x=-++ ∵1x >，∴()0h x '>∴()h x '在(1,)+∞上递增()min 211(1)0326h x h ==-=> ∴()g x 的图像在()f x 的上方，∴()f x 在区间(1,)+∞上被函数()g x 覆盖．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.25．（1）答案见解析；（2）存在，4a =.【分析】（1）对函数进行求导，求出导函数的零点，分为0a =，0a >和0a <三种情形进行讨论，可得函数单调性；（2）分为0a ≤，3a ≥和0<<3a 三种情形，得出函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，结合最值得结果.【详解】（1）()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭． 令()603a f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭′，解得0x =或3a ． 当0a =时，()260f x x =≥′恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '>得3a x >或0x <，令()0f x '<得03a x <<， 即函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <，令()0f x '<得03a x <<， 即函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上所述：当0a =时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时，函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）存在，理由如下：由（1）可得：当0a ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增．则最小值为()01f =，不合题意； 当0a >时，函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增； 当13a ≥，即3a ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减， ()f x 的最大值为()01f =，最小值为()1211f a =-+=-，解得4a =，满足题意；当0<<3a 时，函数函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,13a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， ()f x 的最小值为32211333a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为3227a -=-，解得3a =>，不合题意； 综上可得：a 的值为4.【点睛】关键点点睛：（1）按照导函数的零点大小比较进行讨论；（2）按照导函数零点与所给区间端点的关系进行讨论.26．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =.当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立.当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.。