教学目标:
1.通过大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵;
2.会求简单函数的导数,通过函数图象直观地了解导数的几何意义;
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程,进一步感受变量数学的思想方法.
教学重点:
导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵,导数的几何意义.
教学难点:
对导数的几何意义理解.
教学过程:
一、复习回顾
1.曲线在某一点切线的斜率.
()()PQ f x
x f x k x
+-=∆∆(当∆x 无限趋向0时,k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率) 2.瞬时速度.
v 在t 0的瞬时速度=00()()f t t f t t ∆∆+- 当∆t →0时.
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
x
v 在t 0的瞬时加速度=
00()()v t t v t t
∆∆+- 当∆t →0时. 二、建构数学
导数的定义. 函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),如果自变量x 在x 0处
有增量△x ,那么函数y 相应地有增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0);比值
y x
∆∆就叫函数y =f (x )在x 0到(x 0+△x )之间的平均变化率,即00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆.如果当0x ∆→时,y A x ∆→∆,我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导,并把A 叫做函数y =f (x )在点x 0处的导数,记为0x x y ='
, 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x
=+∆-∆'===∆→∆∆当 三、数学运用
例1 求y =x 2+2在点x =1处的导数.
解 ∆y =-(12+2)=2∆x +(∆x )2
y x ∆∆=2
2()x x x
∆∆∆+=2+∆x ∴y x
∆∆=2+∆x ,当∆x →0时,1x y '∣==2. 变式训练:求y =x 2+2在点x =a 处的导数.
解 ∆y =-(a 2+2)=2a ∆x +(∆x )2
y x ∆∆=2
2()a x x x
∆∆∆+=2a +∆x ∴y x
∆∆=2a +∆x ,当∆x →0时,y '=2a . 小结 求函数y =f (x )在某一点处的导数的一般步骤:
(1)求增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0);
(2)算比值
y x ∆∆=00()()f x x f x x
∆∆+-; (3)求0x x y '∣==y x ∆∆,在∆x →0时. 四、建构数学
导函数.
若f (x )对于区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数f (x )称为的导函数,记作f (x ),
即f (x 0)=y =y x ∆∆=00()()f x x f x x ∆∆+-,当∆x →0时的值. 五、数学运用
例2 已知y y
,并求出函数在x =2处的切线方程.
解 y ∆,
y x ∆∆
y y x x
∆∆∆'∴==
∆x →0时的值. 当x =2时切线的斜率为
k
所以在x =2切线方程为2)
y x -即
切线方程为y x . 练习:
课本P14 -1,2,3.
六、回顾小结
问题1 本节课你学到了什么?
(1)了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵;
(2)会求简单函数在某一点的导数;会求简单函数在某个区间上的导函数 ;
(3)通过函数图象直观地了解导数的几何意义.
问题2 本节课体现了哪些数学思想方法?
(1)形结合的思想方法.
(2)极限的思想方法.。