数学科教案
潮阳市西元中学数学科教案
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教学过程一、复习准备：
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若0
ab=，则0
a=；
（2）若0
a>时，则函数y ax b
=+的值随x的值的增加而增加.
二、讲授新课：
1. 认识“⇒”与“”：
①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由
“0
ab=”不能得到“0
a=”，即0
ab=0
a=；而命题（2）中由“0
a>”可以得到“函数y ax b
=+的值随x的值的增加而增加”，即0
a>⇒函数y ax b
=+的值随x的值的增加而增加.
②练习：教材P12第1题
2. 教学充分条件和必要条件：
①若p q
⇒，则p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）.
上述命题（2）中“0
a>”是“函数y ax b
=+的值随x的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b
=+的值随x的值的增加而增加”则是“0
a>”的必要条件.
②例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若1
x>，则33
x
-<-；
（2）若1
x=，则2320
x x
-+=；
（3）若()
3
x
f x=-，则()
f x为减函数；
（4）若x为无理数，则2x为无理数.
（5）若
12
//
l l，则
12
k k
=.
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教学过程④例2：已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d r
=是直线l 与O相切的充要条件.
（教师引导→学生板书→教师点评）
3. 小结：充要条件概念的理解.
三、巩固练习：
1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：
（1）1
x>-1
x>；（2）a b
>
11
a b
<；
（3）22
20
a a
b b
-+=a b
=；（4）A⊆∅A=∅.
2. 判断下列命题的真假：
（1）“a b
>”是“22
a b
>”的充分条件；（2）“a b
>”是“22
a b
>”的必要条件；（3）“a b
>”是“22
ac bc
>”的充要条件；
（4）“5
a+是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件；
（5）“1
x=”是“2230
x x
--=”的充分条件.
3. 作业：教材P14页习题第3、4题
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ABC的一边长为
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式
②相关点法：寻求点M
的轨迹方程.
练.
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教学过程一、新课导入：
1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
2. 在椭圆的标准方程
22
22
1
x y
a b
+=中，,,
a b c有何关系，若5,3
a b
==，则?
c=写出符合条件的椭圆方程。
二、讲授新课：
1. 双曲线的定义：
①提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点
12
,F F是两个按钉，MN是一个细套
管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，
|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1|
是同一常数，可以画出另一支．
②定义：平面内与两定点
12
,F F的距离的差的绝对值等
于常数(小于
12
F F)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点
12
,F F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离
12
F F叫做双曲线的焦距。
③（理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。
（文科）简单讲解推导给出标准方程。
标准方程：
22
222
22
1,(0,0,)
x y
a b c a b
a b
-=>>=+（焦点
12
(,0),(,0)
F c F c
-在x 轴）
思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？
④例1、
58
P分析：由双曲线的标准方程知，只要求出,a b即可得方程；
练习：1、已知双曲线的两焦点为
12
(8,0),(8,0)
F F
-，双曲线上任意点到
12
,F F的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程。
2、双曲线的两焦点分别为
12
(3,0),(3,0)
F F
-，①若2,___;
a b
==
则②若1,___;
b a
==
则
3、双曲线的两焦点分别为
12
(10,0),(10,0)
F F
-，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。
（若焦点分别为
12
(0,10),(0,10)
F F
-，过点(0,8)，双曲线的标准方程又如何？）
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教学过程一、复习准备：
1.回顾双曲线的定义、标准方程（焦点在分别在x、y轴上）、,,
a b c间的关系？
2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4
a b
==，焦点在x轴上；②焦点在y
轴上，焦距为8，2
a=；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
由椭圆的哪些几何性质出发，引导学生类
比探究双曲线的几何性质；
①范围：标准方程可变为
22
22
1
x y
a b
-=，得知
2
2
1
x
a
≥，即x a x a
≥≤-
或；
双曲线在不等式x a x a
≥≤-
与所表示的区域内。
②对称性：如图2-25可知，双曲线关于x轴、y轴及原点都对称，原点是双曲线的对称中心。
③顶点：标准方程中，当0
y=时x a
=±，当0
x=时方程无实根；曲线与x轴的交
点
12
(,0),(,0)
A a A a
-叫做双曲线的顶点。
12
A A叫
做双曲线的实轴，以
12
(0,),(0,)
B b B b
-为端点的
线段
12
B B叫做双曲线的虚轴。
实轴与虚轴等
长的双曲线叫等轴双曲线。
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教学过程一、复习准备：
1、回顾双曲线的范围、对称轴、顶点、离心率、
渐近线；
2、已知双曲线的方程为
22
1
914
x y
-=，写出其顶点
和焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率、渐
近线方程。
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
对双曲线的相关问题，要紧扣定义及相关概念。
例1、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,试选择适当
的坐标系，求出此双曲线的方程。
分析引导：求双曲线的方程只需求出a,b即可，题目是个典型的求曲线方程问题，引导学生建立坐标系、找出关系式求解。
练习：已知双曲线的焦点在x轴上，方程为
22
22
1
x y
a b
-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点
(8,6)
A，试求此双曲线的方程。
例2、过双曲线
22
1
36
x y
-=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B两点，
求,A B两点的坐标。
（变训练：求AB及
1
ABF
∆的周长，）
（解几问题，求两曲线的交点，一般是通过联立方程组求解）
练习：1、求到两定
12
(5,0),(5,0)
F F
-的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程。
2、点(,)
M x y到定点(5,0)
F距离和它到定直线
16
:
5
l x=的距离的比是常数5
4
，求点M的轨迹方程。
（双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数a>1）
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