c k 1 z ak
n
设 a 为 f z 的 n 阶极点， f z
z a n
z
，其中 z 在点 a 解析， a 0 ，则
Re s f z
z a
n1 a
n 1!
.
例 4.计算积分
5z 2 dz 2 z 2 z z 1 5z 2 在圆周 z 2 的内部只有一阶极点 z 0 及 z 1 ， 2 z z 1
1 f d z D ，即 f d 2if z . c z c 2i z
例 3. 求积分
c
9 1d ，其中
2

C 为圆周 2 .
9 2 d 解： c i d c 9 2 1
������ +∞ ������ ������ =1 ������ +∞ ������ ������ =1 ������
������ 在C上
������ ������������=
������
������ ������ dz。 将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积
1
分的有关问题。
������ 例8.计算积分 ������ ( ∞ ������ =−1 ������ ������������,C:|z|=2.
c
例 2、求
cos z dz ，其中 C 为圆周 z 3i 1 ， c zi
解：圆周 C 为 z 3z 1 ，被积函数的奇点为 i ，在 C 的外部，
cos z 在以 C 为边界的闭圆 z 3i 1 上解析， zi cos z dz 0 . 故由柯西积分定理的等价形式得 c zi 如果 D 为多连通区域，有如下定理：
此时有 Rcos , sin d
0
z z 1 z z 1 dz R , iz . z 1 2 2 i
例 5.
2
0
d a 1 a cos 1 dz z z 1 ， d ， iz 2
解：令 z ei ，则 cos
7.拉普拉斯变换法
计算复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定 理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积 定理等)，将该类复积分化为 F(s)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的 复积分结果。 总之， 复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论 的内容要丰富和复杂得多。 因而在学习时应着重理解复变函数积分理论与高等数 学中积分理论的联系， 同时又要注意到二者的不同，这对学生掌握复变函数整个 课程内容大有裨益。 [参考文献] [1] 黄隽：复变函数积分计算方法的探讨. 常州工学院学报,2008 年 8 月第 21 卷第 4 期 [2]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］ 。北京:高等教育出版社，2003。 [3]王燕.复变函数积分的解法分析［J］ 。数学学习与研究，2009，12:90-91。
Px dx 型积分 Q x

例 7.计算


2 3x
x 4 dx
2 4
.
解：函数 f z
2 3z
z4
2 4
在上半平面内只有 z
2 i 一个四阶极点， 3
令
2 i a ， z a t 3
则 f z

z4 24 z a z a
4 t a 4 4 4 3 t t 2a
1 a 4 4a 3t 6a 2t 2 4at3 t 3 4 4 3 t 16a 4 32a 3 24a 2t 2 8at3 t 4

1 1 t t2 4 4 2 3 t 16 8a 32a
直接令 e 2i ai z ，则 dz e2i ai 2id ，
于是 tan ia 解： I
1 z 1 . i z 1
1 z 1 1 1 z 1 dz dz c i z 1 2iz 2 c z z 1
应用留数定理，当 a 0 时， I i 当 a 0 时， I i . 5.2 计算
I


2 dz ，其中 a a2 1 ， a a2 1 ， z 1 z z i
1, 1, 1，
应用留数定理得 I
2 a2 1
.

若 Rcos , sin 为 的偶函数，则 Rcos , sin d 之值亦可用上述方法求之，
于是，
设 D 是由复周线 C C0 C1 C2 所构成的有界多连通区域， f z 在 D 内 Cn
解析，在 D D C 上连续，则 f z dz 0 .
c
3.利用柯西积分公式求积分 设区域 D 的边界是周线或复周线 C ，函数 f z 在 D 内解析，在 D D C 上 连续，则有 f z
c
解： y x0 x 1 为从点 0 到点 1 i 的直线方程，于是
x y ix dz x y ix d x iy
2
1i
2
c
0
x x ix 2 d x ix
1 0


1 i i x 2 dx
5.用留数定理计算实积分 某些实的定积分可应用留数定理进行计算， 尤其是对原函数不易直接求得的 定积分和反常积分， 常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线 积分. 5.1 计算 Rcos , sin d 型积分
0 2
令 z ei ，则 cos
2
z z 1 z z 1 dz ， sin ， d ， iz 2 2i
1 0
1 i . 3 2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设 f z 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任一条周线，则
f z dz 0 .
c
柯西积分定理的等价形式：设 C 是一条周线， D 为 C 之内部， f z 在闭域
D D C 上解析，则 f z dz 0 .
复变函数积分方法的思考总结
钱学森 11 陈海琪 2110405004
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要 总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式 和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分 例 1、计算积分 x y ix 2 dz ，积分路径 C 是连接由 0 到 1 i 的直线段.
0
因为此时 Rcos , sin d
0

1 Rcos , sin d ，仍然令 z ei . 2
例 6.计算 tan ia d （ a 为实数且 a 0 ）
0

1 e 2i ai 1 分析：因为 tan ia 2i ai ， ie 1
解：被积函数 f z
Re s f z
z 0
5z 2 | 2 z 22 z 0
2 5z 2 Re s f z | z 1 2 | z 1 2 z 1 z z
因此，由留数定理可得

z 2
5z 2 dz 2i 2 2 0 . 2 z z 1


5
另外,若 a 为周线 C 内部一点，则
dz 2i c z a
z a
c
dz
n
0 （ n 1 ，且 n 为整数）.
4.应用留数定理求复积分
f z 在复周线或周线 C 所围的区域 D 内，除 a1 , a2 , an 外解析，在闭域
D D C 上除 a1 , a2 ,an 外连续，则 f z dz 2i Re s f z .
Re s f z
z a
即 Re s f z
z 2 i 3
1 3 32 a 3 1
4
2 3432 3i
2i
3

i 576 6
故


2 3x
x 4 dx
2 4
i . 576 6 288 6
6.级数法计算积分 连续性逐项积分定理:设������ ������ ������ 在曲线C上连续(n=1,2,3…)， 一致收敛于 f z ,则 f z 在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：
解：在|z|< 内，
2 ∞ ������ 1 ������ =−1 ������ =������
1
+
1 1−z 1 ������ 1 1−z
所以
������
(
∞ ������ ������ =−1 ������
������������=
������
（ +
）dz=2π������ +0=2π������