10组合变形图10.4 斜弯曲分析参考图10 组合变形10.1 组合变形的概念和实例分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。

工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合。

下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。

10.2 斜弯曲10.2.1 斜弯曲时横截面上的应力外力简化 ϕϕsin ,cos z y P P P P == 内力：ϕϕcos )(cos )(y z M x l P x l P M =-=-=ϕϕsin )(sin )(z y M x l P x l P M =-=-=式中)(x l P M -=是集中力P 在横截面m-n 上所引起的弯矩，在计算中可取绝对值。

应力: 任意截面m-n 上任意点C （y ，z ）处的应力可采用叠加法计算。

在xy 平面内的平面弯曲（由于z M 的作用）产生的正应力为y I M I y M zz z cos ϕσ=='由于在xz 平面内的平面弯曲（由于yM 的作用）产生的正应力为图10.1起重机构ACB 梁受力分析 图10.2传动轴受力分析z I M I z M yyy sin ϕ==σ''C 点处的正应力，即 y y z z I z M I y M +=''+'=σσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=z I y I M y zsin cos ϕϕ（10.1）10.2.2 斜弯曲时的强度计算强度条件为max 11z y cos sin M y z I I ϕϕσ⎛⎫=+≤⎪ ⎪⎝⎭[]σ （10.2） 对于有棱角的矩形截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 ≤+=z zmaxy y maxmax W M W M σ[]σ （10.3）若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对1D 点和2D 点都进行强度计算。

0sin cos 0y0z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z I y I M ϕϕσ因为0≠M ，所以有 0sin cos 0y 0z =+z I y I ϕϕ （10.4）此即斜弯曲时的中性轴方程。

设中性轴与z 轴的夹角为α，根据公式（10.4）有ϕαtg tan yz 00I Iz y -== （10.5）由式（10.5）可得出以下两点结论：(1) 对于zy I I ≠的截面，则ϕα≠。

这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴与外力P 所在的纵向平面不垂直（图10.5b ）。

(2) 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由于zy I I =，故可由式（10.5）得：ϕα-=，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不会产生斜弯曲。

10.2.3 斜弯曲的变形计算33y y z z cos 33P l P l f EI EI ϕ==－－33zz y y cos 33Pl P l f EI EI ϕ==－－2z 2y f f f +=（10.6）设总挠度f 与y 轴的夹角为β（图10.6b ），则有 ϕβtg tan yz y z I If f == （10.7）关于挠度、中性轴及外力P 的位置之间的关系，现作进一步讨论：图10.6斜弯图(1) 由式（10.7）知，若梁的横截面zy I I ≠，则ϕβ≠，这说明梁在变形后的挠曲线与外力P 所在的纵向面不共面，因此，称为斜截面。

(2) 对于zy I I =的横截面（如圆形、正方形），则ϕβ=，即挠曲线与外力在同一纵向平面内。

这种情况仍是平面弯曲。

实际上，对于zy I I =的横截面，过截面形心的任何一个轴都是形心主惯性轴。

因此，外力作用将总能满足平面弯曲的条件。

(3) 由式（10.5）及式（10.7）知：中性轴与z 轴的夹角α等于挠度与y 轴的夹角β。

即和平面弯曲一样，斜弯曲时，中性轴仍垂直于挠度f 所在的平面。

【例题10.1】例10.1图所示结构的梁为16号工字钢，材料为Q 235--A 钢，〔σ〕=160MPa ，E =200GPa ，载荷P 与y 轴的夹角︒=20ϕ，P =7kN 梁的跨度l =4m 。

试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。

解：①外力分析 将P 沿y 轴和z 轴分解，得kN 39.220sin 7sin kN 58.620cos 7cos z y =︒===︒==ϕϕP P P Py P 和zP 将分别使梁在xy 和xz 平面内产生平面弯曲。

②内力计算 任一横截面上，由y P和z P 作用产生的弯矩分别为z M 和y M ，其内力图见图（b ）和（c ）。

显然，在梁中点C 处，z M 和y M同时取得最大值，故为危险截面。

kN39.24439.24kN58.64458.64z y max y zmax =⨯===⨯==l P M l P M③强度计算 在作用下，截面C 的下边缘拉应力最大，上边缘压应力最大。

在y M作用下，前侧边缘产生最大拉应力，后侧边缘产生最大压应力。

应力叠加后，两边缘的交点1D 和2D 点分别产生最大拉应力和最大压应力（图d ）。

查型钢表，对于16号工字钢，,cm 141,cm 1.93,cm 11303z 4y 4z ===W I I 3y cm 2.21=W 。

由公式（10.3）6363y ymax z zmax max 102.211039.2101411058.6--⨯⨯+⨯⨯=+=W M W M σ<=⨯=159.4MPa Pa 104.1596[]σ故满足强度条件。

例10.1图 工字钢结构梁若载荷不偏离y 轴（0=ϕ），C 截面弯矩最大 mkN 74474max ⋅=⨯==Pl M 故最大正应力为MPa 6.49Pa 106.4910141107663z max max =⨯=⨯⨯==-W M σ④ 挠度计算 在y P和z P 作用下， C 截面形心沿y 方向和z 方向的挠度分别为mm 1.17m 101.17101.93102004841039.248mm 88.3m 1088.3101130102004841058.64838933y 3z z 38933z 3y y =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==----EI l P f EI l P f所以，总挠度为2z 2y f f f +==mm 5.171.1788.322=+挠度f 与y 轴的夹角β（图d ）为 4.488.31.17tan y z ===f f β10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形10.3.1 拉（压）与弯曲组合时的强度计算图10.7（a ）所示为一等直杆，两端铰支，载荷2P 为作用在梁跨度中点C 截面上的横向力，而1P 为作用于杆两端的轴向拉力。

我们以此为例，说明杆在拉（压）与弯曲组合时的强度计算问题。

①外力分析 ②内力分析③应力分析 在C 截面上，与轴力N 对应的正应力σ'在横截面上均匀分布（图10.7c ）其值为： A N ='σ 而与m ax M 对应的弯曲正应力σ''在横截面上沿截面高度线性分布（图10.7d ），其值为z M y I σ⋅''=图10.7 拉（压）与弯曲组合变形分析例10.2图 悬臂式吊车架 最大弯曲正应力在C 截面的上、下边缘，其值为 max 2W4z z M P l W W σ==④强度计算 强度条件可表示为≤+=z maxmax W M A N σ[]σ （10.8） 【例题10.2】例10.2图所示为一悬臂式吊车架，在横梁AB 的中点D 作用一集中载荷P =25kN ，已知材料的许用应力[]σ=100Mpa ，若横梁AB 为工字型梁，试选工字钢型号。

解：①横梁AB 受力分析 取横梁AB 为研究对象，如图（b ）所示，由静力平衡条件解得 kN 5.12,kN 6.21,kN 25A A ===V H T将T 沿梁的轴线及梁轴线垂直的方向分解，分别为1T 和2T ，则有kN5.12212530sin kN 6.21232530cos 21=⨯=︒==⨯=︒=T T T T可见，在1T 和A H 作用下，梁承受轴向压缩；在P 、2T 和A V 作用下，梁发生弯曲变形。

因此，横梁AB 承受的是压缩与弯曲的的组合。

③内力分析 横梁AB 的轴力图及弯矩图如图（c ）和（d ）所示。

显然，危险截面是D 截面。

其轴力和弯矩值分别为kN 6.211-=-=T NkN25.166.2254141max =⨯⨯==Pl M④截面设计 对于工字形梁，抗拉强度与抗压强度相同。

在D 截面的上边缘。

叠加后的正应力绝对值（压应力）达到最大值，故为危险点，所以强度条件为≤+=z maxmax W M A N σ[]σ 上式中，有两个未知量，即横截面积A 和抗弯截面模量W 。

所以，仅由上式无法确定工字钢型号。

工程中一般采用试算法。

即先不考虑轴力N 的影响，只根据弯曲强度条件初选工字钢型号，然后再根据拉（压）弯组合的强度条件进行强度校核。

由弯曲正应力强度条件≤=W Mmax max σ[]σ []3633max16.2510162.510m 162.5cm 100M W σ-⨯≥==⨯=查型钢表，选取18号工字钢，23cm6.30,cm185==AW。

⑤强度校核将以上数据及已求得的N和m axM值代入拉（压）与弯曲组合的强度条件6343zmaxmax101851025.16106.30106.21--⨯⨯-⨯⨯-=+=WMANσ=94.9MPa〈[]σ故选取18号工字钢满足强度条件。

试算中，若初选出的工字钢型号，拉（压）弯组合的危险应力大于许用应力[]σ，则应重新选取工字钢。

10.3.2 偏心压缩（拉伸）现通过例题说明此类问题的强度计算。

【例题10.3】小型压力机的铸铁框架如例10.3图（a）所示。

已知材料的许用拉应力[]tσ=30MPa，许用压应力[]60c=σMPa，载荷P=42kN，立柱的截面尺寸如图（b）所示。

试校核立柱的强度。

例10.3图压力机铸铁框架解：①截面几何性质计算3241510m,7.5cm,5312.5cmyA z I-=⨯==②外力分析kN42=P23e10)5.735(1042-⨯+⨯⨯=M mN1085.173⋅⨯=③内力分析kN42==PN mkN85.17ey⋅==MM④强度计算MPa8.2Pa108.210151042633=⨯=⨯⨯=='-ANσ与弯矩yM对应的正应力沿z轴线性分布，并由公式yyIzM=''σ计算。

最大弯曲拉应力和压应力分别是32y06tmax8y17.85107.51025.210Pa25.2MPa5312.510M zIσ--⨯⨯⨯''===⨯=⨯32y 16cmax 8y 17.8510(207.5)1042.010Pa 42MPa 5312.510M z I σ--⨯⨯-⨯''===⨯=⨯从图（d ）看出，叠加以上两种应力后，在截面的内侧边缘上发生最大拉应力，且<=+=''+'=MPa 282.258.2tmaxtmax σσσ[]σ 在截面的外侧边缘上，发生最大压应力，且<=-=σ'-σ''=σMPa 2.398.242tmax []σ故立柱满足强度条件。