全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。

二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：（1）△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BEFED CBA方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BENDCBAM方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD（2）由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4）①旋转：方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ） 结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0180且AB=AD ） （5）手拉手模型①△ABE 和△ACF 均为等边三角形结论：（1）△ABF ≌△AEC ；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展：条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）、BE =CD （2）BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD =CF变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ， 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆=方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，M 为FD 的中点，求证：AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n360180.PFEDIHG BA21P G FEDKJIHAB四、典型例题：ED F CBAD C BA考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.练习：1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．5、如图，D 是AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.6、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 。

7、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 。

8、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。

第 1 题图ABFDEC9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．10、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．变式1：已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．CBAEMMEABCMDBEMBE变式:2：已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM . （1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.变式3： 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α（090α︒<<︒），若1BE =，AB =E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及∠ABF 的度数。

A B C D图aFECBA图bFECBA考点二：截长补短法：核心母题 如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB=AD+BC ．练习：1、① 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；②、已知：如图，ABC ∆是等边三角形，120BDC ο∠=， 求证：AD BD CD =+.A③、已知四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ο∠=PBDCA°，P 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且120APD ο∠=，求证：PA PD PC BD ++=2、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

3、如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=ABAB CDEO5、已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－21∠BDC ，求证：AB=BD ＋DC 。

考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．3、如图，在ABC ∆中，BC AC ACB =︒=∠,90，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于点D ，MN BE ⊥于点E 。

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD —BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。