全等三角形中辅助线的添加一.教学内容:全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二.知识要点:1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段:连接……;(2)作平行线:过点……作……∥……;(3)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为……;(4)作中线:取……中点……,连接……;(5)延长并截取线段:延长……使……等于……;(6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于……;(7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……;(8)作一个角等于已知角:作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法:(1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。
(2)截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。
①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。
(3)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图):两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
(4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:用旋转构造三角形全等。
(6)构造特殊三角形:主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型:(1)△ABC中AD是BC边中线方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BEFD CBA方式2:间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BENDCBAM方式3:延长MD到N,使DN=MD,连接CD(2)由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD(3)角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一)(4)①旋转:方法:延长其中一个补角的线段(延长CD到E,使ED=BM ,连AE或延长CB到F,使FB=DN ,连AF )结论:①MN=BM+DN②ABCCMN2=∆③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM②翻折:思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=0180且AB=AD)(5)手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论:(1)△ABF≌△AEC;(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型证明);(3)OA平分∠EOF拓展:条件:△ABC和△CDE均为等边三角形结论:(1)、AD=BE(2)、∠ACB=∠AOB(3)、△PCQ为等边三角形(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC (8)、OE=OC+OD((7),(8)需构造等边三角形证明)②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论:(1)、BE=CD (2)BE⊥CD③ABEF和ACHD均为正方形结论:(1)、BD⊥CF(2)、BD=CF变形一:ABEF和ACHD均为正方形,AS⊥BC交FD于T,求证:①T为FD的中点. ②.ADF ABCSS∆∆=方法一:方法二:方法三:变形二:ABEF 和ACHD 均为正方形,M 为FD 的中点,求证:AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时,总有:∠1=∠2=n360180.PFEDIHG BA21P G FEDKJIHABEDFCBAD CBA四、典型例题:考点一:倍长中线(或类中线)法:核心母题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.练习:1、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.2、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.ED CBA3、如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,求证:CD=2CE。
4、已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE.求证:AF=BC+FC.5、如图,D 是AB 的中点,∠ACB=90°,求证:2CD=AB.6、已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 。
7、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 。
8、已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交AE 于点F ,DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠。
9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究:AM 与DE 的位置关系及数量关系.(1)如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ;(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结FC ADFE第 1 题图ABFDEC论是否发生改变?并说明理由.10、已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA =BC ,DA =DE ,联结EC ,取EC 的中点M ,联结BM 和DM .(1)如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ; (2)将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.变式1:已知:在Rt △ABC 中,AB=BC ,在Rt △ADE 中,AD=DE ,连结EC ,取EC 的中点M ,连结DM 和BM . (1)若点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与点B 不重合,如图①,探索BM 、DM 的关系并给予证明; (2)如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.DCB AEMM EABC D图②MDBACE图① M BAC E变式:2:已知:△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°,点M 是CE 的中点,连接BM . (1)如图①,点D 在AB 上,连接DM ,并延长DM 交BC 于点N ,可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ; (2)如图②,点D 不在AB 上,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.变式3: 四边形ABCD 是正方形,BEF ∆是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒,BE EF =,连接DF ,G 为DF 的中点,连接EG ,CG ,EC 。
(1)如图24-1,若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值; (2)将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α(090α︒<<︒),若1BE =,AB =E ,F ,D 三点共线时,求DF 的长及∠ABF 的度数。
图24-1图24-2A B CD备用图图aFECBA图bFECBA考点二:截长补短法:核心母题 如图,AD ∥BC ,EA ,EB 分别平分∠DAB ,∠CBA ,CD 过点E ,求证:AB=AD+BC .练习:1、① 如图a ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C ,连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论;(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b ,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;②、已知:如图,ABC ∆是等边三角形,120BDC ο∠=, 求证:AD BD CD =+.③、已知四边形ABCD 中,AB BC =,60ABC ο∠=°,P 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点,且120APD ο∠=,求证:PA PD PC BD ++=ACDPBDCA2、在△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠BAC 交BC 于P ,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ,求证:AB+BP=BQ+AQ 。
3、如图,在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,AD ,CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线,求证:AC=AE+CD4、如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 是△ABC 外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60° 求证:BD+DC=AB5、已知:如图在△ABC 中,AB=AC ,D 为△ABC 外一点,∠ABD=60°,∠ADB=90°-21∠BDC ,求证:AB=BD +DC 。
考点三:一线三等角问题(“K ”字图) 核心母题 已知:如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,D 是BC 边上一点,∠ADE=45°,AD=DE ,求证:BD=EC.AB CDEO练习:1、已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.3、如图,在ABC∆中,BCACACB=︒=∠,90,直线MN经过点C,且MNAD⊥于点D,MNBE⊥于点E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD—BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问:DE,AD,BE有怎样的等量关系?请写出等量关系,并加以证明。